Beräkna arean av den skuggade ytan

Du kan använda ”trigonometriska ettan” för att få något som kanske är lättare att integrera. 

Sin²x är inte heller rolig. Ta formeln för dubbla vinkeln och få ngt med sin 2x eller cos 2x istället.

$A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{x} - \left( 1- \cos^2{x} \right)\right) \,\mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{x} - \sin^2{x} \right) \,\mathrm{d}x =$

$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{x} - \dfrac{1-\cos{2x}}{2} \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin{x} + \dfrac{\cos{2x}}{2} - \dfrac{1}{2} \right) \,\mathrm{d}x =$

$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \,\mathrm{d}x + \dfrac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos{2x} \,\mathrm{d}x + \dfrac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \,\mathrm{d}x =$

$= \left[ -\cos{x} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} + \dfrac{1}{4} \left[ \sin{2x} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} - \dfrac{1}{2} \cdot \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 0 - (-1) + 0 - 0 - \dfrac{\pi}{4} + 0 = 1 -\dfrac{\pi}{4}$

Man kan också utnyttja att

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\cos^2\left( x \right)dx = \int_0^{\pi/2}\sin^2\left(x \right)dx$

(från substitutionen $t =\pi/2-x$)

Summera ihop dessa för att få

$\displaystyle 2I = \int_0^{\pi/2}(\cos^2 x +\sin^2x)dx = \int_0^{\pi/2}dx= \frac{\pi}{2}$

Därmed är

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos^2 \left(x\right) dx=\frac{\pi}4$

AlexMu skrev:

Man kan också utnyttja att

$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\cos^2\left( x \right)dx = \int_0^{\pi/2}\sin^2\left(x \right)dx$

(från substitutionen $t =\pi/2-x$)

Summera ihop dessa för att få

$\displaystyle 2I = \int_0^{\pi/2}(\cos^2 x +\sin^2x)dx = \int_0^{\pi/2}dx= \frac{\pi}{2}$

Därmed är

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos^2 \left(x\right) dx=\frac{\pi}4$

Detta är en fin metod. Ev. kan man åberopa symmetri om man inte ännu lärt sig v.s.