Beräkna begränsningsarean och volymen V av en toroid
Hej!
Hur ska man börja här?
Använd detta.
PATENTERAMERA skrev:Använd detta.
Pappusregeln II för Volym? Hur ska jag använda den?
Du behöver veta triangelns area och var tyngdpunkten ligger i triangeln.
PATENTERAMERA skrev:Du behöver veta triangelns area och var tyngdpunkten ligger i triangeln.
Jag ser ingen triangel i figuren?
Toroidens tvärsnitt är en liksidig triangel.
PATENTERAMERA skrev:Toroidens tvärsnitt är en liksidig triangel.
Men var i figuren kan man se detta dvs Toroidens tvärsnitt är en liksidig triangel?
Det står i problemtexten.
PATENTERAMERA skrev:Det står i problemtexten.
Ja jag vet, men jag syftar på bildmässigt dvs "Toroidens tvärsnitt är en liksidig triangel"
Du får toroiden genom att rotera en liksidig triangel kring en axel.
PATENTERAMERA skrev:Du får toroiden genom att rotera en liksidig triangel kring en axel.
Hur då?
Du har ju en figur att titta på.
PATENTERAMERA skrev:Du har ju en figur att titta på.
Ja men om den figur roterar kring sin axel så ser jag inte hur det bildas en liksidig triangel? Jag vet inte om man ska rita en liksidig triangel i mitten av toroiden och sen tänka så?
Du får tänka dig hur toroiden i figuren bildas då du roterar en triangel kring toroidens cenrumaxel.
PATENTERAMERA skrev:Du får tänka dig hur toroiden i figuren bildas då du roterar en triangel kring toroidens cenrumaxel.
Vad är centrumaxel här?
Tvärtom, figuren bildas genom att rotera triangeln.
PATENTERAMERA skrev:Tvärtom, figuren bildas genom att rotera triangeln.
Du menar såhär? Det var svårt att tänka sig i huvudet så fick hjälp av chat.
Ok så vi känner till tyngdpunkten för en homogen triangel dvs h/3 (tror jag). Sen behöver vi triangels area för att använda oss av pappus första regeln eller hur?
Ja, fast AI-bilden är dålig. Triangelns bas skall ligga på avståndet R från rotationsaxeln, annars får du inte hålrummet i toroidens mitt.
Så tyngdpunktens avstånd till axeln är R + h/3. Sedan får man uttrycka h i termer av a.
PATENTERAMERA skrev:Ja, fast AI-bilden är dålig. Triangelns bas skall ligga på avståndet R från rotationsaxeln, annars får du inte hålrummet i toroidens mitt.
Så tyngdpunktens avstånd till axeln är R + h/3. Sedan får man uttrycka h i termer av a.
Okej men isåfall vet jag inte hur du menar att det ska se ut tyvärr. Jag hänger inte med där. Isåfall är det en sån bild men jag kan ha missförstått dig där.
Jag förstår inte och ser inte hur tyngpunktens avstånd till axeln är R+h/3 om figuren från AI eller min egna är fel.
PATENTERAMERA skrev:
Men denna bild verkar ej stämma med hur R ser ut i uppgiften? Är den strecken linjen i mitten av toroiden även R? Så rotationsaxeln för triangeln är mitten av toroiden?
Ja, du roterar kring den horisontella linjen. Då får du toroiden, fast på högkant och inte liggande som i figuren till problemet, men det spelar ju mindre roll.
PATENTERAMERA skrev:Ja, du roterar kring den horisontella linjen. Då får du toroiden, fast på högkant och inte liggande som i figuren till problemet, men det spelar ju mindre roll.
Jag vet inte vilken horisontell linje du syftar på i problemtexten? Du har själv ritat en horisontell linje i din figur, kanske är det den du menar? Vad menar du med högkant?
Ja, den horisontella linjen i min figur. Högkant: den står upp som ett cykelhjul 🚴🏻♀️, istället för att ligga platt ner som en munk 🍩 .
PATENTERAMERA skrev:Ja, den horisontella linjen i min figur. Högkant: den står upp som ett cykelhjul 🚴🏻♀️, istället för att ligga platt ner som en munk 🍩 .
Men du markerade radien där? Vad menas med högkant?
Jag förklarade det i #25.
PATENTERAMERA skrev:
Så på högkant är den horisontell eller om du menar att triangeln står på högkant? Är osäker på vad du försöker säga här.
"På högkant" betyder att något är placerat vertikalt, stående på sin kortsida eller kant istället för att ligga platt.
Så här ser det ut om man skär bort främre halvan av toroiden i första bilden.
Laguna skrev:Så här ser det ut om man skär bort främre halvan av toroiden i första bilden.
Jaha ok då bildas det en liksidig triangel med sidorna a. Då förstår jag. Så tyngdpunkten på triangeln vid kanten mäts från toroidens rotationsaxel i mitten till mitten av triangeln så vi får R+h/3. För att skriva h i termer av a kan man använda pythagoras sats kanske
Se figuren (det ofta bra att rita en tydlig figur).
För t ex volymen gäller det summera (integrera) volymen av tunna ringar med radier x, tjocklek dx
och höjd 2 från r till r+a/2.
D v s
( fås som den räta linje som går genom (r, a/2) och (r + a/2))
Hjälper detta?
PATENTERAMERA skrev:Ja, fast AI-bilden är dålig. Triangelns bas skall ligga på avståndet R från rotationsaxeln, annars får du inte hålrummet i toroidens mitt.
Så tyngdpunktens avstånd till axeln är R + h/3. Sedan får man uttrycka h i termer av a.
Men om vi ska använda pappus här så saknar vi längden dvs A=2piy_g*L. Vilken längd är det man vill ha då? Vi har arean på triangeln dvs bas*h/2 och vi har y_g.
Du var ju intresserad av volymen i #3.
V = 2pi x (R + h/3) x A.
h =
A = ah/2.
PATENTERAMERA skrev:Du var ju intresserad av volymen i #3.
V = 2pi x (R + h/3) x A.
h =
A = ah/2.
Ok jag förstår. Så vi har både arean och volymen
Den första regeln gäller arean (av toroiden).
Den andra gäller volymen.
PATENTERAMERA skrev:Den första regeln gäller arean (av toroiden).
Den andra gäller volymen.
Så vi ska använda pappus regeln för volym och area dvs V=2piygA och A=2piyg*L? Men vad är längden då? Juste så arean för pappus för volym gäller för triangeln och arean A för pappus för area gäller för toroiden.
I den första formeln är A arean av triangeln. I den andra formeln är A arean av toroidens begränsningsyta. L är triangelns omkrets (3a).
PATENTERAMERA skrev:I den första formeln är A arean av triangeln. I den andra formeln är A arean av toroidens begränsningsyta. L är triangelns omkrets (3a).
Varför är L triangelns omkrets och inte toroidens omkets? Varför är det så att längden i den formeln är en omkrets av tex triangel eller annan kropp?
Det verkar finnas bevis här: https://en.wikipedia.org/wiki/Pappus%27s_centroid_theorem
destiny99 skrev:PATENTERAMERA skrev:I den första formeln är A arean av triangeln. I den andra formeln är A arean av toroidens begränsningsyta. L är triangelns omkrets (3a).
Varför är L triangelns omkrets och inte toroidens omkets? Varför är det så att längden i den formeln är en omkrets av tex triangel eller annan kropp?
Läs på om Pappus-Guldins regler i kursmaterialet.
PATENTERAMERA skrev:destiny99 skrev:PATENTERAMERA skrev:I den första formeln är A arean av triangeln. I den andra formeln är A arean av toroidens begränsningsyta. L är triangelns omkrets (3a).
Varför är L triangelns omkrets och inte toroidens omkets? Varför är det så att längden i den formeln är en omkrets av tex triangel eller annan kropp?
Läs på om Pappus-Guldins regler i kursmaterialet.
Vad är pappus-Guldins regler? Du menar om pappus regler i kursboken?
Det är olika namn för samma sak.
PATENTERAMERA skrev:Det är olika namn för samma sak.
Såhär står det i min bok om pappus regler. De förklarar inte den där längden l.
"Kurva av längden l" står det.
Laguna skrev:"Kurva av längden l" står det.
Ja precis men vad har med omkretsen med saken att göra då i vår uppgift som då är L? Kanske är det så att man ser den där kurva som en cirkelbåge där man kan hitta längden l mha omkretsen för en halvcirkel.
Om du använder Pappus-1 så är A arean av toroidens begränsningsyta, L är längden av kurvan - dvs vi ser här triangeln som en kurva i planet vars längd är det samma som dess omkrets, förstås.
PATENTERAMERA skrev:Om du använder Pappus-1 så är A arean av toroidens begränsningsyta, L är längden av kurvan - dvs vi ser här triangeln som en kurva i planet vars längd är det samma som dess omkrets, förstås.
Men hur kan den längden på kurvan vara samma som omkrets?
Om du har en kurva som har formen av en triangel, hur lång är den då?
PATENTERAMERA skrev:Om du har en kurva som har formen av en triangel, hur lång är den då?
Man kan ta två punkter och skapa en rät linje mellan dem.
Hur kommer triangeln in i bilden då?
