Beräkna denna Wronskian (Matematik/Universitet/Övrigt)

Tänk på strukturen av lösningarna till ett linjärt ODE-system och strukturen på Wrońskianen.

Om $\mathbf{A}$ har egenvärdena $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ (ej lika med varandra) med tillhörande egenvektorer $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2$ , så blir lösningarna

$\mathbf{x}_1\left(t\right) = \begin{pmatrix}a\,e^{\lambda_1\,t}\\b\,e^{\lambda_1\,t}\end{pmatrix}$ och $\mathbf{x}_2\left(t\right) = \begin{pmatrix}c\,e^{\lambda_2\,t}\\d\,e^{\lambda_2\,t}\end{pmatrix}$ .

Wrońskianen blir då

$W\left[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2\right]\left(t\right) = \det \begin{pmatrix} a\,e^{\lambda_1\,t} & c\,e^{\lambda_2\,t} \\ b\,e^{\lambda_1\,t} & d\,e^{\lambda_2\,t} \end{pmatrix} = \left(ad-bc\right) e^{(\lambda_1 + \lambda_2)\,t}$

Vill man att detta inte är konstant, så måste exponenten vara nollskild, d.v.s. $\lambda_1 + \lambda_2 \ne 0$ krävs.

Det räcker alltså att ta fram egenvärdena (och inget mer) till varje av matriserna $\mathbf{A}_1, \ldots \mathbf{A}_4$ och ta reda på vilken av dessa matriser som har egenvärdena som uppfyller kravet $\lambda_1 + \lambda_2 \ne 0$ .

När man bestämt att $\mathbf{A}_2$ (d.v.s. inte $\mathbf{A}_4$ !) uppfyller kravet, så kan man beräkna egenvektorerna, lösningarna och Wrońskianen endast för $\mathbf{A}_2$ .

Några satser från linjär algebra kan vidare snabba upp beräkningen:

Matrisens spår (trace) är lika med summan av egenvärdena.
Vill man att $\lambda_1 + \lambda_2 \ne 0$ , så räcker det att beräkna summan av diagonalelementen och kolla om denna summa är noll, eller inte. Det är endast matris $\mathbf{A}_2$ där summan av diagonalelementen inte är noll, så dess egenvärden har summan också inte lika med noll.
För $\mathbf{A}_2$ gäller alltså att $\lambda_1 + \lambda_2 = -5 + 1 = -4$ .
Matrisen $\mathbf{A}_2$ är symmetrisk, så den är diagonaliserbar med ortogonala egenvektorer. När man hittat den ena egenvektorn $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ , så följer det från ortogonaliteten att den andra egenvektorn är $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ (man slipper alltså beräkning av den andra egenvektorn)
Uttrycket $(ad-bc)$ i Wrońskianen blir alltså $(a^2 + b^2)$ , d.v.s. egenvektorns längd (i kvadrat). Man har frihet att välja längden på egenvektorerna, så man kan sätta $a^2 + b^2 = 1$

Slutsats för $\mathbf{A}_2$ : $W[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2](t) = (a^2 + b^2)\,e^{(\lambda_1 + \lambda_2)t} = 1\,e^{-4t}$

Tillägg: 23 okt 2025 22:15

Eftersom uppgiften frågar efter Wrońskianen upp till en multiplikativ konstant, så behöver man egentligen inte alls ta fram egenvektorerna.

När egenvektorerna betecknas med $\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$ respektive $\begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix}$ , så kommer $W$ innehålla faktorn $(ad-bc)$ . Detta är ju en multiplikativ konstant och frågeställningen säger att man inte behöver bry sig om multiplikativa konstanter.

LuMa07 skrev:
Tänk på strukturen av lösningarna till ett linjärt ODE-system och strukturen på Wrońskianen.

Om $\mathbf{A}$ har egenvärdena $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$ (ej lika med varandra) med tillhörande egenvektorer $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix} \in \mathbb{C}^2$ , så blir lösningarna

$\mathbf{x}_1\left(t\right) = \begin{pmatrix}a\,e^{\lambda_1\,t}\\b\,e^{\lambda_1\,t}\end{pmatrix}$ och $\mathbf{x}_2\left(t\right) = \begin{pmatrix}c\,e^{\lambda_2\,t}\\d\,e^{\lambda_2\,t}\end{pmatrix}$ .

Wrońskianen blir då

$W\left[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2\right]\left(t\right) = \det \begin{pmatrix} a\,e^{\lambda_1\,t} & c\,e^{\lambda_2\,t} \\ b\,e^{\lambda_1\,t} & d\,e^{\lambda_2\,t} \end{pmatrix} = \left(ad-bc\right) e^{(\lambda_1 + \lambda_2)\,t}$

Vill man att detta inte är konstant, så måste exponenten vara nollskild, d.v.s. $\lambda_1 + \lambda_2 \ne 0$ krävs.

Det räcker alltså att ta fram egenvärdena (och inget mer) till varje av matriserna $\mathbf{A}_1, \ldots \mathbf{A}_4$ och ta reda på vilken av dessa matriser som har egenvärdena som uppfyller kravet $\lambda_1 + \lambda_2 \ne 0$ .

När man bestämt att $\mathbf{A}_2$ (d.v.s. inte $\mathbf{A}_4$ !) uppfyller kravet, så kan man beräkna egenvektorerna, lösningarna och Wrońskianen endast för $\mathbf{A}_2$ .

Några satser från linjär algebra kan vidare snabba upp beräkningen:

Matrisens spår (trace) är lika med summan av egenvärdena.
Vill man att $\lambda_1 + \lambda_2 \ne 0$ , så räcker det att beräkna summan av diagonalelementen och kolla om denna summa är noll, eller inte. Det är endast matris $\mathbf{A}_2$ där summan av diagonalelementen inte är noll, så dess egenvärden har summan också inte lika med noll.
För $\mathbf{A}_2$ gäller alltså att $\lambda_1 + \lambda_2 = -5 + 1 = -4$ .

Matrisen $\mathbf{A}_2$ är symmetrisk, så den är diagonaliserbar med ortogonala egenvektorer. När man hittat den ena egenvektorn $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ , så följer det från ortogonaliteten att den andra egenvektorn är $\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ (man slipper alltså beräkning av den andra egenvektorn)

Uttrycket $(ad-bc)$ i Wrońskianen blir alltså $(a^2 + b^2)$ , d.v.s. egenvektorns längd (i kvadrat). Man har frihet att välja längden på egenvektorerna, så man kan sätta $a^2 + b^2 = 1$

Slutsats för $\mathbf{A}_2$ : $W[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2](t) = (a^2 + b^2)\,e^{(\lambda_1 + \lambda_2)t} = 1\,e^{-4t}$

Tillägg: 23 okt 2025 22:15

Eftersom uppgiften frågar efter Wrońskianen upp till en multiplikativ konstant, så behöver man egentligen inte alls ta fram egenvektorerna.

När egenvektorerna betecknas med $\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$ respektive $\begin{pmatrix}c \\ d\end{pmatrix}$ , så kommer $W$ innehålla faktorn $(ad-bc)$ . Detta är ju en multiplikativ konstant och frågeställningen säger att man inte behöver bry sig om multiplikativa konstanter.

Så hur ska man egentligen lösa uppgiften på ett effektivt sätt ? Du menar alltså att det finns W för linjära system som beräknas som determinanten av lösningarna till varje matris? En snabb sätt att lösa detta på hade alltså varit abels sats menar du istället för att ta fram egenvärden och egenvektor till varje matris o sen ta deras determinanter som tar längre tid? Vad innebär multiplikativ konstant?

Börja med att motivera att $W[x_1, x_2](t) = (ad-bc) e^{(\lambda_1 + \lambda_2)\,t}$ enligt definitionen av Wrońskianen.

Ta reda på vilken av matriserna som har $\lambda_1 + \lambda_2 \ne 0$ , enklast genom att beräkna spåret till varje av matriserna.

Sätt in $\lambda_1 + \lambda_2 = \mathrm{tr} A_2 = -4$ i $W$ .

Färdigt!

Man behöver inte beräkna egenvärdena eller egenvektorerna. Det räcker med att beräkna matrisernas spår då man endast är ute efter summan $\lambda_1 + \lambda_2$ .

LuMa07 skrev:
Börja med att motivera att $W[x_1, x_2](t) = (ad-bc) e^{(\lambda_1 + \lambda_2)\,t}$ enligt definitionen av Wrońskianen.

Ta reda på vilken av matriserna som har $\lambda_1 + \lambda_2 \ne 0$ , enklast genom att beräkna spåret till varje av matriserna.

Sätt in $\lambda_1 + \lambda_2 = \mathrm{tr} A_2 = -4$ i $W$ .

Färdigt!

Man behöver inte beräkna egenvärdena eller egenvektorerna. Det räcker med att beräkna matrisernas spår då man endast är ute efter summan $\lambda_1 + \lambda_2$ .

Hm jag hänger inte med tyvärr. Jag vet inte vilken definition du pratar om. Ska man inte använda abels sats här för att lösa problemet? Det var det som AI föreslog vilket var snabbare än att beräkna alla egenvärden och egenvektorer som jag gjorde till alla matriser. Det står ju att vi ska hitta W så att vi får en icke konstant funktion.

Den här abels sats skulle man tydligen kunna för att lösa uppgiften. Jag minns den från andra ordningens ODE , men det är så synd att man inte kom på detta under en tenta.

Avsnitt 7.4 i Boyce, strax ovanför Sats 7.4.2:

LuMa07 skrev:
Avsnitt 7.4 i Boyce, strax ovanför Sats 7.4.2:

Ok. Men det hade fortfarande tagit väldigt lång tid att hitta lösningar till varje matris och sen komma fram till vad W ska bli under ett prov. Hade det varit bara en matris givet i frågan så hade jag använt mig av denna sats direkt.

destiny99 skrev:
Ok. Men det hade fortfarande tagit väldigt lång tid att hitta lösningar till varje matris och sen komma fram till vad W ska bli.

Fast... man inte alls behöver hitta lösningar till varje matris.

Använd Abels sats, då. Den kräver lika mycket arbete som det optimala lösningssättet via definitionen av W.

LuMa07 skrev:
destiny99 skrev:
Ok. Men det hade fortfarande tagit väldigt lång tid att hitta lösningar till varje matris och sen komma fram till vad W ska bli.

Fast... man inte alls behöver hitta lösningar till varje matris.

Använd Abels sats, då. Den kräver lika mycket arbete som det optimala lösningssättet via definitionen av W.

Nu förstår jag inte riktigt. Vad menar du med att man inte behöver hitta lösningar till varje matris? Jag vet inga knep på vägen än denna metod som har med satsen att göra. Satsen säger tydligt att man ska ha lösningar till varje system för att hitta W och det görs med egenvärde och motsvarande egenvektorer. Du får gärna visa hur du hade löst med W[y1,y2] definitionen.

Abels sats var något AI föreslog och som jag aldrig visste gäller för linjära system så det var nytt. Problemet är att man får bara Ce^-4t men vi söker C också

destiny99 skrev:
Du får gärna visa hur du hade löst med W[y1,y2] definitionen.

Det gjorde jag i #2 med en detaljerad förklaring. Kortfattad version finns i #4

$C$ kan väljas som determinanten av de valda egenvektorerna, dvs om

$x^1=v_1e^{\lambda_1t}$

$x^2=v_2e^{\lambda_2t}$

Så är $C = \det \left[ v_1, v_2 \right]$

BTW, eftersom lösningarna är linjärt oberoende måste determinanten vara nollskild.

LuMa07 skrev:
destiny99 skrev:
Du får gärna visa hur du hade löst med W[y1,y2] definitionen.

Det gjorde jag i #2 med en detaljerad förklaring. Kortfattad version finns i #4

Men vad är( ad-bc) i vårt fall? Den måste man väl beräkna mha egenvektorerna till A2 när man testat vilka av A matriserna är nollskild.

Om man använder abels sats så behöver man väl inte ta fram vad C blir ? Uppgiften säger ju "upp till multiplikativ konstant."

destiny99 skrev:
Men vad är( ad-bc) i vårt fall? Den måste man väl beräkna mha egenvektorerna till A2 när man testat vilka av A matriserna är nollskild.

Se tillägg i #2:

LuMa07 skrev:
destiny99 skrev:
Men vad är( ad-bc) i vårt fall? Den måste man väl beräkna mha egenvektorerna till A2 när man testat vilka av A matriserna är nollskild.

Se tillägg i #2:

Jaha ok så ett svar som (ad-bc)*e^-4t räcker gott och väl? Man kanske kan kalla (ad-bc) för h eller något.