Beräkna det(T)

Om A är en symmetrisk matris så är den en egenvektor till T med egenvärde 1.

Om A är en antisymmetrisk matris så är den en egenvektor till T med egenvärde -1.

Notera att du i detta fall kan hitta en bas av egenvektorer till T, nämligen unionen av en bas för underrummet av symmetriska matriser och en bas för underrummet av antisymmetriska matriser. Determinanten är därför produkten av egenvärdena för vektorerna i basen. Så det(T) = (-1)^m där m är dimensionen av underrummet av antisymmetriska matriser.

PATENTERAMERA skrev:

Om A är en symmetrisk matris så är den en egenvektor till T med egenvärde 1.

Om A är en antisymmetrisk matris så är den en egenvektor till T med egenvärde -1.

Notera att du i detta fall kan hitta en bas av egenvektorer till T, nämligen unionen av en bas för underrummet av symmetriska matriser och en bas för underrummet av antisymmetriska matriser. Determinanten är därför produkten av egenvärdena för vektorerna i basen. Så det(T) = (-1)^m där m är dimensionen av underrummet av antisymmetriska matriser.

Jag tror tyvärr inte att jag hänger med här. Så här kommer några frågor:

1) hur vet man att egenvärdet till en symmetrisk matris A har egenvärdet 1 med egenvektor T?

2) -||- för antisymmetrisk matris A (undrar samma sak om den också)

3) vad menas med underrummet av symmetriska och antisymmetriska matriser?

A är symmetrisk om A = A^T. Således, T(A) = A^T = A = 1$·$A. Dvs A är egenvektor med egenvärde 1 till avbildningen T.

A är antisymmetrisk om A = -A^T. Således, T(A) = A^T = -A = (-1)$·$A. Dvs A är egenvektor med egenvärde -1 till avbildningen T.

Z = $\left\{A\in {\mathrm{ℝ}}^{n\times n}| A = A^T\right\}$, dvs mängden av symmetriska matriser, är ett underrum till ${\mathrm{ℝ}}^{n\times n}$. Visa det, om det inte uppenbart.

W = $\left\{A\in {\mathrm{ℝ}}^{n\times n}| A = -A^T\right\}$, dvs mängden av antisymmetriska matriser, är ett underrum till ${\mathrm{ℝ}}^{n\times n}$. Visa det, om det inte uppenbart.

Antag att du har en bas B1 för Z och en bas B2 för W. Visa att B1$\cup$B2 är en bas för ${\mathrm{ℝ}}^{n\times n}$. Därmed har du en bas bestående helt av egenvektorer till operatorn T. Du kan därför hitta en diagonal matris för att representera operatorn T, de diagonala elementen i denna matris utgörs av egenvärdena till basvektorerna. Determinaten är lika med produkten av värdena på diagonalen.

PATENTERAMERA skrev:

A är symmetrisk om A = A^T. Således, T(A) = A^T = A = 1$·$A. Dvs A är egenvektor med egenvärde 1 till avbildningen T.

A är antisymmetrisk om A = -A^T. Således, T(A) = A^T = -A = (-1)$·$A. Dvs A är egenvektor med egenvärde -1 till avbildningen T.

Z = $\left\{A\in {\mathrm{ℝ}}^{n\times n}| A = A^T\right\}$, dvs mängden av symmetriska matriser, är ett underrum till ${\mathrm{ℝ}}^{n\times n}$. Visa det, om det inte uppenbart.

W = $\left\{A\in {\mathrm{ℝ}}^{n\times n}| A = -A^T\right\}$, dvs mängden av antisymmetriska matriser, är ett underrum till ${\mathrm{ℝ}}^{n\times n}$. Visa det, om det inte uppenbart.

Antag att du har en bas B1 för Z och en bas B2 för W. Visa att B1$\cup$B2 är en bas för ${\mathrm{ℝ}}^{n\times n}$. Därmed har du en bas bestående helt av egenvektorer till operatorn T. Du kan därför hitta en diagonal matris för att representera operatorn T, de diagonala elementen i denna matris utgörs av egenvärdena till basvektorerna. Determinaten är lika med produkten av värdena på diagonalen.

Hur visar man det? För det är inte riktigt uppenbart som du säger. 

Visa att definitionen av underrrum är uppfylld. Dvs summan av två symmetriska (antisymmetriska) matriser är en symmetrisk (antisymmetrisk) matris. En symmetrisk (antisymmetrisk) matris multiplicerad med en skalär är en symmetrisk (antisymmetrisk) matris.

PATENTERAMERA skrev:

Visa att definitionen av underrrum är uppfylld. Dvs summan av två symmetriska (antisymmetriska) matriser är en symmetrisk (antisymmetrisk) matris. En symmetrisk (antisymmetrisk) matris multiplicerad med en skalär är en symmetrisk (antisymmetrisk) matris.

Jag antar att det är så du menar? 

Men det här med att A har egenvärdet 1 respektive -1 vet jag inte hur man kommer fram till det. Samt att dess egenvektor är A. Vi vet att egenvärde definieras som det(A-lambda*I)=0

destiny99 skrev:

Men det här med att A har egenvärdet 1 respektive -1 vet jag inte hur man kommer fram till det. Samt att dess egenvektor är A. Vi vet att egenvärde definieras som det(A-lambda*I)=0

Det är inte det(A) som är efterfrågad.

Pieter Kuiper skrev:

destiny99 skrev:

Men det här med att A har egenvärdet 1 respektive -1 vet jag inte hur man kommer fram till det. Samt att dess egenvektor är A. Vi vet att egenvärde definieras som det(A-lambda*I)=0

Det är inte det(A) som är efterfrågad.

Nej jag vet men när man ska räkna ut egenvärdet till en matris så är det så det är definierad.  Hur ska man annars se att A och -A har egenvärdet 1 respektive -1?

destiny99 skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Visa föregående citat

destiny99 skrev:

Men det här med att A har egenvärdet 1 respektive -1 vet jag inte hur man kommer fram till det. Samt att dess egenvektor är A. Vi vet att egenvärde definieras som det(A-lambda*I)=0

Det är inte det(A) som är efterfrågad.

Nej jag vet men när man ska räkna ut egenvärdet till en matris så är det så det är definierad. 

Det är klart att när man tillämpar avbildningen T två gånger, att man får samma igen. Så avbildningens egenvärde i kvadrat är 1 (tror jag, men du bör kolla de matematiska definitionerna själv; jag är mer van vid ordet operator till exempel paritetsoperatorn).

destiny99 skrev:

Men det här med att A har egenvärdet 1 respektive -1 vet jag inte hur man kommer fram till det. Samt att dess egenvektor är A. Vi vet att egenvärde definieras som det(A-lambda*I)=0

Se två första raderna i #4.

Tänk på definitionen av egenvärde och egenvektor. T(A) = $\lambda$A.

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Men det här med att A har egenvärdet 1 respektive -1 vet jag inte hur man kommer fram till det. Samt att dess egenvektor är A. Vi vet att egenvärde definieras som det(A-lambda*I)=0

Se två första raderna i #4.

Tänk på definitionen av egenvärde och egenvektor. T(A) = $\lambda$A.

Ja det är ju som att säga A(v)=lambda*v där v är egenvektor till A men i detta fall är A en egenvektor till T

Ja, precis, A är vektorn i detta fall, inte operatorn. Det är T som är operatorn.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis, A är vektorn i detta fall, inte operatorn. Det är T som är operatorn.

Vad menas med operatorn i det här sammanhanget?

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis, A är vektorn i detta fall, inte operatorn. Det är T som är operatorn.

Vad menas med operatorn i det här sammanhanget?

Det är bara ett annat ord for avbilding. Avbildningen (operatorn) här är T, som definieras i problemtexten.

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis, A är vektorn i detta fall, inte operatorn. Det är T som är operatorn.

Vad menas med operatorn i det här sammanhanget?

Det är bara ett annat ord for avbilding. Avbildningen (operatorn) här är T, som definieras i problemtexten.

Okej så vi vet att A har egenvärdet 1 och -A har egenvärdet -1 vilket innebär att vi kan skriva upp egenvektorerna A och -A som kolonmatris för att hitta det(T)

destiny99 skrev:

Okej så vi vet att A har egenvärdet 1 och -A har egenvärdet -1 vilket innebär att vi kan skriva upp egenvektorerna A och -A som kolonmatris för att hitta det(T)

Vi vet inget om matriserna A. Bara att de är fyrkanta n × n.

Igen: frågan handlar om avbildningen T. Denna operator kan beskrivas som en matris som verkar på vektorer med längd n².

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis, A är vektorn i detta fall, inte operatorn. Det är T som är operatorn.

Vad menas med operatorn i det här sammanhanget?

Det är bara ett annat ord for avbilding. Avbildningen (operatorn) här är T, som definieras i problemtexten.

Okej så vi vet att A har egenvärdet 1 och -A har egenvärdet -1 vilket innebär att vi kan skriva upp egenvektorerna A och -A som kolonmatris för att hitta det(T)

Nja, inte riktigt korrekt. Om A är en symmetrisk matris så är A en egenvektor till avbildningen T, och det tillhörande egenvärdet är 1. Om A är en antisymmetrisk matris så är A en egenvektor till T, och det tillhörande egenvärdet är -1.

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis, A är vektorn i detta fall, inte operatorn. Det är T som är operatorn.

Vad menas med operatorn i det här sammanhanget?

Det är bara ett annat ord for avbilding. Avbildningen (operatorn) här är T, som definieras i problemtexten.

Okej så vi vet att A har egenvärdet 1 och -A har egenvärdet -1 vilket innebär att vi kan skriva upp egenvektorerna A och -A som kolonmatris för att hitta det(T)

Nja, inte riktigt korrekt. Om A är en symmetrisk matris så är A en egenvektor till avbildningen T, och det tillhörande egenvärdet är 1. Om A är en antisymmetrisk matris så är A en egenvektor till T, och det tillhörande egenvärdet är -1.

Ja juste. Men hur skriver man detta så att det ser ut som en  n×n matris och man kan räkna ut det(T) som efterfrågas? 

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis, A är vektorn i detta fall, inte operatorn. Det är T som är operatorn.

Vad menas med operatorn i det här sammanhanget?

Det är bara ett annat ord for avbilding. Avbildningen (operatorn) här är T, som definieras i problemtexten.

Okej så vi vet att A har egenvärdet 1 och -A har egenvärdet -1 vilket innebär att vi kan skriva upp egenvektorerna A och -A som kolonmatris för att hitta det(T)

Nja, inte riktigt korrekt. Om A är en symmetrisk matris så är A en egenvektor till avbildningen T, och det tillhörande egenvärdet är 1. Om A är en antisymmetrisk matris så är A en egenvektor till T, och det tillhörande egenvärdet är -1.

Ja juste. Men hur skriver man detta så att det ser ut som en  n×n matris och man kan räkna ut det(T) som efterfrågas? 

Jag tror att T är en n² × n² matris.

Pieter Kuiper skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis, A är vektorn i detta fall, inte operatorn. Det är T som är operatorn.

Vad menas med operatorn i det här sammanhanget?

Det är bara ett annat ord for avbilding. Avbildningen (operatorn) här är T, som definieras i problemtexten.

Okej så vi vet att A har egenvärdet 1 och -A har egenvärdet -1 vilket innebär att vi kan skriva upp egenvektorerna A och -A som kolonmatris för att hitta det(T)

Nja, inte riktigt korrekt. Om A är en symmetrisk matris så är A en egenvektor till avbildningen T, och det tillhörande egenvärdet är 1. Om A är en antisymmetrisk matris så är A en egenvektor till T, och det tillhörande egenvärdet är -1.

Ja juste. Men hur skriver man detta så att det ser ut som en  n×n matris och man kan räkna ut det(T) som efterfrågas? 

Jag tror att T är en n² × n² matris.

var kommer kvadraten på n ifrån? det står ju nxn

A är en nxn-matris. Men en matris för avbildningen T blir n²xn², som Pieter säger.

PATENTERAMERA skrev:

A är en nxn-matris. Men en matris för avbildningen T blir n²xn², som Pieter säger.

Så A är A^n^2?

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

A är en nxn-matris. Men en matris för avbildningen T blir n²xn², som Pieter säger.

Så A är A^n^2?

Jag förstår inte frågan.

Matriserna A har n² element.

Pieter Kuiper skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

A är en nxn-matris. Men en matris för avbildningen T blir n²xn², som Pieter säger.

Så A är A^n^2?

Jag förstår inte frågan.

Matriserna A har n² element.

Jaha det är så man menar när de säger T i vektorummet R^{n^2}. Men om A har n^2 element , vad innebär det för T? 

A ligger i R^{n x n}. Men om du skulle ta fram en matris till T så skulle denna ligga i ${\mathrm{ℝ}}^{n^2\times n^2}$.

PATENTERAMERA skrev:

A ligger i R^{n x n}. Men om du skulle ta fram en matris till T så skulle denna ligga i ${\mathrm{ℝ}}^{n^2\times n^2}$.

förstår inte varför den ska ligga i ${\mathrm{ℝ}}^{n^{2}x{n}^2}$

Du kanske kan börja med en 2 x 2 matris. Så den där matrisen A har fyra element och du kan representera den som en 4-vektor.

För att avbilda den på 4-vektorn som representerar A^T behövs multiplikation med en 4 x 4 matris.

Pieter Kuiper skrev:

Du kanske kan börja med en 2 x 2 matris. Så den där matrisen A har fyra element och du kan representera den som en 4-vektor.

För att avbilda den på 4-vektorn som representerar A^T behövs multiplikation med en 4 x 4 matris.

Jag förstår inte riktigt

Om du vill förstå är det bara att sätta igång med 2 x 2 matriser, utveckla en bas av symmetriska och antisymmetiska egenvektorer till T, som du kan skriva en matris för och räkna ut determinanten av. Patentamera beskrev i #2 och i #4 hur man kan gå tillväga.

Det är nog mycket bra att skriva ut det hela.

Sedan kan du kolla 3 x 3 matriser.

En allmän symmetrisk 2x2 matris kan skrivas $\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]$.

$\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$, så där har du en bas för Z (då n=2).

En allmän antisymmetrisk 2x2 matris kan skrivas $\left[\begin{array}{cc}0& d\\ -d& 0\end{array}\right]$. Utnyttja detta för att bestämma en bas för W (då n=2).

PATENTERAMERA skrev:

En allmän symmetrisk 2x2 matris kan skrivas $\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]$.

$\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$, så där har du en bas för Z (då n=2).

En allmän antisymmetrisk 2x2 matris kan skrivas $\left[\begin{array}{cc}0& d\\ -d& 0\end{array}\right]$. Utnyttja detta för att bestämma en bas för W (då n=2).

Vad är basen för Z då?  Hur kan det vara så att man har -d och d på diagonalen och nollor på diagonalen för en antisymmetrisk 2x2 matris? Är det så som det är för dem eller finns det en särskild anledning till det?  

destiny99 skrev:

Hur kan det vara så att man har -d och d på diagonalen och nollor på diagonalen för en antisymmetrisk 2x2 matris? Är det så som det är för dem eller finns det en särskild anledning till det?  

Hur annars vill du skriva en antisymmetrisk 2 x 2 matris?

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

En allmän symmetrisk 2x2 matris kan skrivas $\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]$.

$\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$, så där har du en bas för Z (då n=2).

En allmän antisymmetrisk 2x2 matris kan skrivas $\left[\begin{array}{cc}0& d\\ -d& 0\end{array}\right]$. Utnyttja detta för att bestämma en bas för W (då n=2).

Vad är basen för Z då?  Hur kan det vara så att man har -d och d på diagonalen och nollor på diagonalen för en antisymmetrisk 2x2 matris? Är det så som det är för dem eller finns det en särskild anledning till det?  

Som vi visat så kan varje symmetrisk matris skrivas om en linjärkombination av matriserna

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$. 

Dessa matriser spänner således upp Z. Eftersom de dessutom är linjärt oberoende så utgör de en bas för Z.

Kan du hitta en antisymmetrisk matris som inte kan skivas på formen $\left[\begin{array}{cc}0& d\\ -d& 0\end{array}\right]$ för något värde på d?

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

En allmän symmetrisk 2x2 matris kan skrivas $\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]$.

$\left[\begin{array}{cc}a& c\\ c& b\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$, så där har du en bas för Z (då n=2).

En allmän antisymmetrisk 2x2 matris kan skrivas $\left[\begin{array}{cc}0& d\\ -d& 0\end{array}\right]$. Utnyttja detta för att bestämma en bas för W (då n=2).

Vad är basen för Z då?  Hur kan det vara så att man har -d och d på diagonalen och nollor på diagonalen för en antisymmetrisk 2x2 matris? Är det så som det är för dem eller finns det en särskild anledning till det?  

Som vi visat så kan varje symmetrisk matris skrivas om en linjärkombination av matriserna

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right], \left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$. 

Dessa matriser spänner således upp Z. Eftersom de dessutom är linjärt oberoende så utgör de en bas för Z.

Kan du hitta en antisymmetrisk matris som inte kan skivas på formen $\left[\begin{array}{cc}0& d\\ -d& 0\end{array}\right]$ för något värde på d?

Jag kan tyvärr inte komma på en antisymmetrisk matris som inte kan skrivas på den formen, men man kan välja d=2 så får vi [ 0 2 -2 0]

Alla (2x2) antisymmetriska matriser är på denna form.

$\left[\begin{array}{cc}0& d\\ -d& 0\end{array}\right]=d\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$,  så vi kan tex välja matrisen $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$ som en bas för underrummet W av antisymmetriska matriser.

Om vi lägger samman baserna för Z och W så får vi en bas för hela R^nxn.

Det gäller nu att ställa upp en matris för T relativt denna bas.