Beräkna divergensen av ett vektorfält

Hej, jag skulle behöva hjälp med att förstå svaret till nedanstående fråga. Frågan är följande:

Och svaret är följande:

Men jag förstår inte hur de får fram svaret på $\nabla \vec{u}$ ?

Jag tänker att det vi ska derivera med avseende på x, y och z är uttrycket $\frac{(x,y,z)}{r^3}$ men i svaret ser de bara ut som att de deriverar och adderar map två variabler?

Och varför multiplicerar man med $\frac{\vec{r}\vec{r}}{r}$ ?

u₁ = x/r³ = xr^-3.

$\frac{\partial u_{1}}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x r^{- 3}) = r^{- 3} + x \frac{\partial (r^{- 3})}{\partial x} = r^{- 3} + x \frac{d (r^{- 3})}{d r} \frac{\partial r}{\partial x} = r^{- 3} - 3 x r^{- 4} (x / r) = r^{- 3} - 3 r^{- 5} x^{2} .$

Och sedan liknande för derivatorna på y och z komponenterna.

Du kan även utnyttja formell nablaräkning.

$\nabla ∙ (ϕ \vec{A}) = \nabla ϕ ∙ \vec{A} + ϕ \nabla ∙ \vec{A}$ ,

Med $ϕ (\vec{r}) = r^{- 3}$ och $\vec{A} (\vec{r}) = \vec{r}$ .

Du känner säkert redan till att

$\nabla ∙ \vec{r} = 3$

$\nabla r = \frac{\vec{r}}{r}$ ,

vilket kan utnyttjas.

Tex har vi

$\nabla r^{- 3} = \frac{d r^{- 3}}{d r} \nabla r = - 3 r^{- 4} \frac{\vec{r}}{r}$ .

Svara