Beräkna dubbelintegral

Hur räknar jag ut denna dubbelintegral? Mitt försök:

$\int_{1}^{2} \int_{0}^{y} \frac{x}{x^{2} + y^{2}} d x d y = [u = x^{2}] = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \int_{0}^{y^{2}} \frac{1}{u + y^{2}} d u d y = = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \ln | u + y^{2} |_{1}^{2} d y = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (\ln |2 + y^{2}| - \ln | 1 + y^{2} |) d y = = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (\ln (\frac{|2 + y^{2}|}{|1 + y^{2}|})) d y$

Ser ut som att du stoppar in gränserna för andra integralen när du räknar ut den första.

Micimacko skrev:
Ser ut som att du stoppar in gränserna för andra integralen när du räknar ut den första.

Ok, får såhär om jag gör rätt:

$\frac{1}{2} \int_{0}^{y^{2}} \int_{1}^{4} \frac{1}{u + y^{2}} d u d y = \frac{1}{2} \int_{0}^{y^{2}} \ln | u + y^{2} |_{1}^{4} d y = \frac{1}{2} \int_{0}^{y^{2}} \ln | \frac{4 + y^{2}}{1 + y^{2}} | d y$

Hur räknar jag ut det här?

Har du börjat om på en ny integral nu? Vad kom den ifrån?

Micimacko skrev:
Har du börjat om på en ny integral nu? Vad kom den ifrån?

Oj, strunta i det jag skrev sist. Om jag sätter in rätt gränser i mitt ursprungliga försök att lösa uppgiften får jag:

$\frac{1}{2} \ln \int_{1}^{2} \ln | 2 y^{2} | d y \int_{1}^{2} \ln | 2 y^{2} | d y = \int_{1}^{2} 1 \times \ln | 2 y^{2} | d y = 2 \ln | 8 | - \ln | 2 | - \int_{0}^{y^{2}} y \ln | 2 y^{2} | d y = 2 \ln | \frac{8}{\sqrt{2}} | - \int_{0}^{y^{2}} y \ln | 2 y^{2} | d y$

Hur går jag vidare? Har alltså integrerat med partiell integration.

Nu glömde du undre gränsen. Du kommer behöva den så slipper du nog partiell integration.

Svara

Visa senaste svar