Beräkna flödestäthet från partikel i cirkelrörelse

Hej! 

Jag löste denna uppgift på två sätt och det andra sättet är av med en faktor av 2 och jag ser inte hur man ska lösa den med det sättet.

Fråga:

"

Vid jonlaboratoriet GUNILLA (Gothenburg University Negative Ion Laser Laboratory) i Göteborg använder man bland annat en elektromagnet för att styra negativa joner och bara låta de med en specifik massa passera genom en smal spaltöppning. Magneten ska böja jonstrålen i en kvartscirkel med radien50 cm. Vid ett experiment accelererades $\text{HfF}_5^{-}$(envärt negativ jon av hafniumpentafluorid) med en spänning på 3,0 kV.a)

 Vilken magnetisk flödestäthet måste magneten ha för att dessa molekylermed massan 277 u ska följa cirkelbanan genom magneten och kommagenom spaltöppningen?"

Mina två lösningar:

1: 

I detta fall gäller det att

$\displaystyle qvB = \frac{mv^2}r$
Vilket ger oss att
$\displaystyle B = \frac{mv}{qr}$

Partiklarna accelereras av spänningen $U = 3 \text{ kV}$

Detta ger oss att $v = \sqrt{\frac{2Uq}m}$
Så $\displaystyle B = \frac{m\sqrt{\frac{2Uq}m}}{qr} \approx 0.26 T$
(Vilket är svaret i facit). 

$\textbf{Lösning 2 (felaktig):}$

När partikeln kommer in i fältet påverkas en kraft som verkar "nedåt". Den har styrkan 

$F=qvB$. 

Vi kan tänka oss att partikeln rör sig horisontellt med hastigheten $v_x = \sqrt{\frac{2Uq}m}$ (beräknad i lösning 1).

Detta ger oss att accelerationen som partikeln blir påverkad av är

$\displaystyle a = \frac{qv_x B}m$.

Hastigheten i vertikalled beskrivs då av $a$. 
Integrering av $v_x$ ger oss att rörelsen i horisontellt led beskrivs av 

$\displaystyle x(t) = t v_x$

Integrering av $a$ två gånger ger oss att rörelsen i vertikalt led beskrivs av 

$\displaystyle y\left(t\right) = \frac{qv_xBt^2}{2m}$

När partikeln lämnar kvartscirkeln har den rört sig $r$ i horisontellt och $r$ vertikalt. Det ger oss att det existerar ett $t_0$ sådana att $x(t_0) = r$ och $y(t_0) = r$

Ekvation 1 ger att $\displaystyle t_0 = \frac{r}{v_x}$ 
Insättning i ekvation 2 ger oss

$\displaystyle r = \frac{qv_xB \cdot \frac{r^2}{v_x^2}}{2m}$

Om vi löser för $B$ får vi då att

$\displaystyle B = \frac{2mv_x}{qr}$

Men detta är en faktor av 2 mer än talet vi fick i lösning 1, som är den korrekta. 

Felen jag ser i denna lösning är först att partikelns momentanhastighet inte verkar vara konstant, vilket den borde vara enligt cirkelrörelsen i den första lösningen.

Vidare är det väl inte så att $F = qvB$ är konstant i detta fall? $v$ borde väl egentligen bero på både $v_x$ och $v_y$ (om vi betecknar integralen av $a$ med $v_y$) och då blir det någon diff-ekvation istället. 

Kan man lösa detta problem med kaströrelse? I så fall hur gör man det?