49 svar
310 visningar
viktoria10 19
Postad: 3 apr 11:09

Beräkna följande generaliserade integral eller visa att den divergerar

0arctan(1+x2)(3/2)dx

Jag ska lösa följande uppgift och känner att jag har lite svårt att komma på vart jag ska börja. När det är två gånger upphöjt till samt arctan att ha i åtanke. Några tips? 

tomast80 3486
Postad: 3 apr 11:24

Vad ska det stå i täljaren?

Är det arctanx\arctan x ?

Ett knep är att dela upp integralen i två intervall:

[0,1][0,1] och [1,][1,\infty].

viktoria10 19
Postad: 3 apr 11:43

Tack för jätte snabbt svar tomast80! Jag ska åka och jobba nu kollar upp dina tips när jag kommer hem igen :) 

Micimacko 2446
Postad: 3 apr 12:24

Den är bara generaliserad i en punkt (ser du varför?) så den borde inte behöva delas upp.

Nämnaren är ganska lik täljarens derivata, så jag skulle testa med partiell integration.

Riktigt jobbig integral men det finns en primitiv funktion. Substituera x = tan u.

tomast80 3486
Postad: 3 apr 15:23
Micimacko skrev:

Den är bara generaliserad i en punkt (ser du varför?) så den borde inte behöva delas upp.

Nämnaren är ganska lik täljarens derivata, så jag skulle testa med partiell integration.

x=π2x=\frac{\pi}{2} ?

tomast80 3486
Postad: 3 apr 15:30 Redigerad: 3 apr 15:30

Kan man inte bara direkt konstatera att:

0arctanx(1+x2)3/2dx<\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\arctan x}{(1+x^2)^{3/2}}dx<
0arctanx1+x2dx=\displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\arctan x}{1+x^2}dx=
...

Micimacko 2446
Postad: 3 apr 15:33

Vad händer när x=pi/2??

tomast80 3486
Postad: 3 apr 15:53 Redigerad: 3 apr 15:57
Micimacko skrev:

Vad händer när x=pi/2??

Inget speciellt, jag tänkte fel. Men då kan man väl endast konstatera att

integralen < limx[(arctan(x))22]0x=(π/2)22=...\lim_{x\to \infty} [\frac{(\arctan(x))^2}{2}]_0^x=\frac{(\pi/2)^2}{2}=... ?

Micimacko 2446
Postad: 3 apr 16:02

Ja första delen är lätt. Jag hade bara avrundat arctan till pi/2 och strukit ettan i nämnaren.

tomast80 3486
Postad: 3 apr 16:47
Micimacko skrev:

Ja första delen är lätt. Jag hade bara avrundat arctan till pi/2 och strukit ettan i nämnaren.

Vilken del är det som inte är lätt, med ovanstående är man väl klar? 🤔

Micimacko 2446
Postad: 3 apr 22:17

Det står beräkna integralen också.

tomast80 3486
Postad: 3 apr 23:19
Micimacko skrev:

Det står beräkna integralen också.

Ja, det står så i uppgiften, men skulle gärna vilja se en bild på uppgiften. I 99 fall av 100 ska man endast avgöra om den är konvergent eller divergent.

henrikus 76 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 4 apr 09:57 Redigerad: 4 apr 09:58

Om man substituerar u = arctanx <=> x = tanu så kan man beräkna integralen.

Det stämmer..

Substituera u =arctanx  du= 1/1+x2dx 

och fortsätt lösa..

viktoria10 19
Postad: 5 apr 14:46

I uppgiften står det exakt: Beräkna följande generaliserade integral eller visa att den divergerar. Så jag antar att man kan välja om man vill lösa generaliserade integral eller visa att den divergerar, så frågan är bara vad man tycker är lättast/bäst. 

Micimacko 2446
Postad: 5 apr 14:49

Det är ingen fri vilja inblandad här, antingen så divergerar den (och går då inte räkna ut) eller så gör den inte det.

viktoria10 19
Postad: 5 apr 14:52

Okej, tack Micimacko. Jag har börjat som du sa att avrunda arctan till pi/2 samt stuckit ettan i nämnaren. 

tomast80 3486
Postad: 5 apr 14:59
viktoria10 skrev:

I uppgiften står det exakt: Beräkna följande generaliserade integral eller visa att den divergerar. Så jag antar att man kan välja om man vill lösa generaliserade integral eller visa att den divergerar, så frågan är bara vad man tycker är lättast/bäst. 

Som jag misstänkte, då kan man ersätta 32\frac{3}{2} med 11 och sedan räkna ut (den enklare) integralen.

Micimacko 2446
Postad: 5 apr 15:03

Vad menar du tomas? Det står ju att den ska beräknas?

Testa variabelbytet som föreslagits ett par inlägg upp.

viktoria10 19
Postad: 5 apr 15:04

Jag förstod inte heller, tomast80. 

tomast80 3486
Postad: 5 apr 15:55
Micimacko skrev:

Vad menar du tomas? Det står ju att den ska beräknas?

Testa variabelbytet som föreslagits ett par inlägg upp.

Jag blev nog förvirrad av att byta ut arctanx\arctan x mot π2\frac{\pi}{2}.
Men håller med, lös integralen medelst variabelsubstitution.

viktoria10 19
Postad: 5 apr 15:59

Jag har fått många olika tips! Tack allesammans! Jag försöker att börja lösa uppgiften nu. Och kommit fram till detta med eran hjälp. 

0arctan(1+x2)(3/2)dx  = π/2(x2)(3/2) dx 

Sen substituerar jag u = arctanx <=> x = tanu:

π/2(tan(arctan(x))2(3/2)π2x3

Derivatet av funktionen är:

-3π2(x4)

Micimacko 2446
Postad: 5 apr 16:02

Vad är det du försöker göra nu?

viktoria10 19
Postad: 5 apr 18:12

Jag försökte göra det som Henrikus sa "Om man substituerar u = arctanx <=> x = tanu så kan man beräkna integralen." 

Micimacko 2446
Postad: 5 apr 18:17

Jo men du bytte integral, det är den i uppgiften du ska räkna ut.

viktoria10 19
Postad: 5 apr 18:33

Jaha okej, jag måste ha uppfattat det fel. Känner mig väldigt osäker på det här. Jag uppfatta det som att 0arctan(1+x2)(3/2) dx=0π2x3 dx.

Eftersom jag bytte ut arctan mot pi/2 samt tog bort ettan som du sa. Sen substituerar jag u = arctanx  och x = tanu. 

Micimacko 2446
Postad: 5 apr 18:44

Det är 2 olika delar i en typisk lösning när man har en generaliserad integral.

Först vill du avgöra om den går att räkna ut. Det brukar man göra genom att avrunda uppåt på olika sätt. Sen får man då tex pi/2x^(6/2). Den behöver inte räknas ut, det räcker att titta på och säga att det går.

Då går den mindre vi hade från början också att räkna ut. Och där börjar del 2 av lösningen, att se vad det blir. Då får du inte avrunda som du vill, utan använda exakt det du fick för att svaret ska bli rätt.

viktoria10 19
Postad: 5 apr 18:56

Okej, tack. Jag försöker igen :)

viktoria10 19
Postad: 6 apr 11:29

okej, så vi kan snabbt konstatera att den här intergralen går att lösa, genom det du tidigare nämnde "Jag hade bara avrundat arctan till pi/2 och strukit ettan i nämnaren." 

Ska jag efter det då gå tillbaka ursprungs integralet och göra som henrikus sa "u = arctanx <=> x = tanu så kan man beräkna integralen."? 

Det som gör mig mest förvirrad är att det bara står arctan och inte arctan(x) eller något likande i täljaren. 

Dracaena 1248
Postad: 6 apr 12:38 Redigerad: 6 apr 12:39

Det ska nog stå arctanx, jag hade nog bara kört partiell integration, men prova substitutionen du har blivit tipsad om flertal gånger i tråden. 

viktoria10 19
Postad: 6 apr 14:14

Okej jag tror jag börjar förstå substitution mer nu. Det är första gången jag använder det. 

Så jag skriver som arc tan(x)= u :

u(1+x2)(3/2) dx

och du är = 1x2+1dx

dvs nästan samma uttryck som i nämnaren förutom ^(3/2). 

Brukar man inte sen ta bort du? men kan jag göra det när ^(3/2) finns kvar?

Blir det såhär eller är jag helt fel ute?

u+1(du)(3/2)

Dracaena 1248
Postad: 6 apr 15:01 Redigerad: 6 apr 15:03

Det ser inte riktigt ut.
u=atan(x) ger att x=tanu.
du=1/(x^2+1) dx <=> dx = du (x^2+1). notera att gränserna blir från 0 till pi/2. du har då 0π/2u((tanu)2+1)(1/2)dx\displaystyle{\int_0^{\pi /2} \frac{u}{(( \tan u )^2+1)^{(1/2)}}dx} och eftersom sec^2(x)-tan^2(x)=1 får du 0π/2usec(u)du\displaystyle{\int_0^{\pi /2} \frac{u}{\sec (u)}du}

Kommer du vidare?

viktoria10 19
Postad: 6 apr 15:22

När jag ser din uträkning får jag fram detta: u×π/2sec(u).

Tidigare när jag försökte räkna ut integralen kom jag fram till: -1 π2

Dracaena 1248
Postad: 6 apr 15:36

Jag har för mig att det blir π2-1\frac{\pi}{2}-1, så har du redan fått det så har du ju räknat klar.

viktoria10 19
Postad: 6 apr 16:17

Då blev det rätt då. Men jag känner mig fortfarande osäker på hela processen att komma dit eftersom det finns många vägar. Nu löste jag det med hjälp av kurs litteraturen och var osäker under processen :( tänker att jag ska försöka träna på den metoden där man använder substitution som ni föreslog. Vill kunna skriva och uttrycka lösningen på ett snyggt sätt, det som jag löste löste nu själv var inte optimalt om man säger det så. 

Micimacko 2446
Postad: 6 apr 16:24

Tror att enda sättet att lära sig integrera mer säkert är att träna på väldigt många olika uppgifter. Finns hur mkt som helst på yt, bara att försöka själv först och sen jämföra med hur de gör i videon.

viktoria10 19
Postad: 6 apr 16:28

Tack för tipset Micimacko. Det är väl bästa metoden nu när universiteten är stängda. Tack för all hjälp allihopa! :)

Caroline.E 10
Postad: 7 apr 15:20

Hej,

Jag ser att ni har fått fram pi/2-1. Men jag undrar; ska man också får fram det andra talet som ekvationen konvergerar emot?

Micimacko 2446
Postad: 7 apr 15:57 Redigerad: 7 apr 15:58
Caroline.E skrev:

Hej,

Jag ser att ni har fått fram pi/2-1. Men jag undrar; ska man också får fram det andra talet som ekvationen konvergerar emot?

Vilket andra tal och vilken funktion? (ekvationer brukar inte konvergera) Arctan är udda och nämnaren jämn, så ser inte sådär direkt hur du skulle få fram något annat.

Caroline.E 10
Postad: 7 apr 16:31

Hej,

När jag kollar upp funktionen på geogebra så ser den ut som på bilden. Har inte den blå streckade linjen någon betydelse när vi ska ta reda på om funktionen konvergerar? Jag är ny på detta, så jag kanske missar något. (Som tex att grafen är jämn eller att arctan bara är positiv?)

Vänligen 
Caroline 

Micimacko 2446
Postad: 7 apr 16:39

Kan du visa vad du har skrivit in?

Caroline.E 10
Postad: 7 apr 17:14

Hej, 

Oj, jag måste ha skrivit in fel. Förlåt.

Nu får jag den här grafen.

Vänligen 

Caroline 

Caroline.E 10
Postad: 7 apr 17:15

Då var det ingenting, antar jag. :) 

Micimacko 2446
Postad: 7 apr 17:20

Vet inte vad du skulle få ut av grafen oavsett. Förstår du vad de frågar efter?

Caroline.E 10
Postad: 7 apr 17:23

Ne, det har du rätt i, märker jag nu i efterhand. Antar att dom vill ha arean som integralen konvergerar till och inte värdet funktionen konvergerar till. Om jag uttrycker mig rätt. 

Micimacko 2446
Postad: 7 apr 17:34

Ja, det låter bättre 😉

Caroline.E 10
Postad: 8 apr 14:06
Dracaena skrev:

Det ser inte riktigt ut.
u=atan(x) ger att x=tanu.
du=1/(x^2+1) dx <=> dx = du (x^2+1). notera att gränserna blir från 0 till pi/2. du har då 0π/2u((tanu)2+1)(1/2)dx\displaystyle{\int_0^{\pi /2} \frac{u}{(( \tan u )^2+1)^{(1/2)}}dx} och eftersom sec^2(x)-tan^2(x)=1 får du 0π/2usec(u)du\displaystyle{\int_0^{\pi /2} \frac{u}{\sec (u)}du}

Kommer du vidare?

Hej, 

 

Hur tar du steget mellan

0π/2u((tanu)2+1)(1/2)dx

 

och 

0π/2usec(u)du

 

Vänligen

Caroline 

Caroline.E 10
Postad: 8 apr 14:15
Caroline.E skrev:
Dracaena skrev:

Det ser inte riktigt ut.
u=atan(x) ger att x=tanu.
du=1/(x^2+1) dx <=> dx = du (x^2+1). notera att gränserna blir från 0 till pi/2. du har då 0π/2u((tanu)2+1)(1/2)dx\displaystyle{\int_0^{\pi /2} \frac{u}{(( \tan u )^2+1)^{(1/2)}}dx} och eftersom sec^2(x)-tan^2(x)=1 får du 0π/2usec(u)du\displaystyle{\int_0^{\pi /2} \frac{u}{\sec (u)}du}

Kommer du vidare?

Hej, 

 

Hur tar du steget mellan

0π/2u((tanu)2+1)(1/2)dx

 

och 

0π/2usec(u)du

 

Vänligen

Caroline 

Det är steget här 0π/2u((tanu)2+1)(1/2)×((tanu)2+1)du 

Jag inte kommer underfund med..

Caroline.E 10
Postad: 8 apr 15:24

Nej,

Nu ser jag.. ^2 tar ut rottecknet. 

Svara Avbryt
Close