Beräkna fourierserierna samt förklara vad serierna konvergerar mot

Eftersom sin²(3x) = sin²(-3x) för alla x så kan du på a) skriva f_a(x) = sin²(3x) = (1-cos6x)/2, -pi <= x <= pi. Och detta är ju direkt på ”Fourierserie-form”. Dvs Fourierserien är 1/2 - (1/2)cos(6x).

Eftersom b) är udda så behöver du bara ta med sinustermerna i serien. Du klarar dig dessutom med integration från 0 till pi om du multiplicerar integralen med 2.

PATENTERAMERA skrev:

Eftersom sin²(3x) = sin²(-3x) för alla x så kan du på a) skriva f_a(x) = sin²(3x) = (1-cos6x)/2, -pi <= x <= pi. Och detta är ju direkt på ”Fourierserie-form”. Dvs Fourierserien är 1/2 - (1/2)cos(6x).

Eftersom b) är udda så behöver du bara ta med sinustermerna i serien. Du klarar dig dessutom med integration från 0 till pi om du multiplicerar integralen med 2.

Men om man inte ser att det är på fourierserieform då? Det ska väl vara en summa också a0/2+summa n går från 1 till inf ancos(nx).  Sen ser du hur jag skrev a) vilket är väl rätt eller hur? Det har du inte kommenterat något om. Jag antar att mitt svar där om jämn utvidgning duger. 

När det gäller b) har jag två olika funktioner från -pi till 0 och 0 till pi. Så jag förstår inte riktigt  vad du menar med att jag ska ta med sinustermerna. Kolla på min udda utvidgning. 

a) Eftersom cos(-6x) = cos(6x) så ser du att ditt f_a är det som jag skrev. Fourierserien till en jämn funktion innehåller bara cosinus-termerna. Dvs har formen a/2 + $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \left(nx\right)$. Om du räknar ut a_n så ser du att du får noll för alla utom då n = 6. Gör det.

b) På liknande sätt så har Fourierserien till en udda funktion endast sinus-termerna. ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)\cos \left(nx\right)dx=0$, om f är udda.

PATENTERAMERA skrev:

a) Eftersom cos(-6x) = cos(6x) så ser du att ditt f_a är det som jag skrev. Fourierserien till en jämn funktion innehåller bara cosinus-termerna. Dvs har formen a/2 + $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \left(nx\right)$. Om du räknar ut a_n så ser du att du får noll för alla utom då n = 6. Gör det.

 

b) På liknande sätt så har Fourierserien till en udda funktion endast sinus-termerna. ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)\cos \left(nx\right)dx=0$, om f är udda.

a) men på en tenta har jag inte tid att göra denna beräkning utan meningen är att se snabbt att det blir som du säger om man tänker på tiden man ska ha för andra frågor också. Jag kan göra det nu för att se att för alla n blir det 0 utom n=6 och n=0. 

b) håller med.  Du missade att skriva sinx här då vi ska ta fram fourierkoefficienten bn och inte an för den udda funktionen. man ska automatiskt tänka att b_n är 0 för f_a(x). Men kolla på min f_b(x). Den är uppdelad i två funktioner som jag sa. 

b) För en udda funktion så gäller

${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}{f}_b\left(x\right)\sin \left(nx\right)dx=2{\int }_0^{\mathrm{\pi }}{f}_b\left(x\right)\sin \left(nx\right)dx=2{\int }_0^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)\sin \left(nx\right)dx.$

PATENTERAMERA skrev:

b) För en udda funktion så gäller

${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}{f}_b\left(x\right)\sin \left(nx\right)dx=2{\int }_0^{\mathrm{\pi }}{f}_b\left(x\right)\sin \left(nx\right)dx=2{\int }_0^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)\sin \left(nx\right)dx.$

Det håller jag med om. Men titta på min udda utvidgning. I båda intervall [-pi,0] samt [0,pi] ser funktionerna inte likadana ut?

Nja, hur menar du att de ser lika u?

1/2 - cos(6x) då 0 < x <= pi

-1/2 + cos(6x) då -pi <= x <= 0.

Inte lika.

PATENTERAMERA skrev:

Nja, hur menar du att de ser lika u?

1/2 - cos(6x) då 0 < x <= pi

-1/2 + cos(6x) då -pi <= x <= 0.

Inte lika.

Läs mitt inlägg igen. De är inte lika.  Det är vad jag försökte säga hela tiden. Du ser min uppdelning på f_b(x). När man ska integrera från -pi till pi måste man dela upp i två integraler vilket ser lite jobbigare ut tidsmässigt än att ha en enda integral. 

Lösningen på det fanns i #6.

PATENTERAMERA skrev:

Lösningen på det fanns i #6.

Det begriper jag inte. Vi har som sagt två funktioner i två olika intervall. Du skriver som om vi har en enda funktion när vi har styckvis funktion. Det här funkar när man har bara en och samma funktion f(x) ,men nu har f(x) både en jämn och udda utvidgning. Jag nämnde i #9 att jag ska skriva integralen som två integraler

Nej, du utnyttjar att f_b är udda och behöver bara integrera från 0 till pi.

Om f_b(x) är udda så är f_b(x)sin(nx) en jämn funktion. Integralen av en jämn funktion från -pi till pi är lika med 2 gånger integralen från 0 till pi.

PATENTERAMERA skrev:

Nej, du utnyttjar att f_b är udda och behöver bara integrera från 0 till pi.

Om f_b(x) är udda så är f_b(x)sin(nx) en jämn funktion. Integralen av en jämn funktion från -pi till pi är lika med 2 gånger integralen från 0 till pi.

Men varför kan man inte göra som jag tänker? Det är ju inte fel heller. Obs jag glömde att multiplicera med sinnx.

Nej, det är inte fel. Men har du använt rätt f_b?

PATENTERAMERA skrev:

Nej, det är inte fel. Men har du använt rätt f_b?

Du ser vilken udda utvidgning jag har gjort i #1. Om något är fel där får du gärna säga till.

Men är integranden rätt? Skall det inte vara -1/2 + cos(6x)/2 mellan -pi och 0?

PATENTERAMERA skrev:

Men är integranden rätt? Skall det inte vara -1/2 + cos(6x)/2 mellan -pi och 0?

Aa jo det är sant. Sorry. Jag tycker det är mer jobb att ha två integraler att integrera. Hur kan man se att man bara ska integrera från 0 till pi?

Skrev det i #12.

PATENTERAMERA skrev:

Skrev det i #12.

Ja men jag tänkte mer med integral gränserna jag har i #13. Ska man bara tänka att svaret på dessa två integraler är 2 gånger som att integrera från 0 till pi? Jag har inte räknat ut dessa integraler ännu. Men man kan se att det finns symmetri från -pi till pi.

Gör på vilket sätt du vill. Om du inte velat så mycket så hade du gjort klart uppgiften nu.😂

PATENTERAMERA skrev:

Gör på vilket sätt du vill. Om du inte velat så mycket så hade du gjort klart uppgiften nu.😂

Ok. Men hur ska man tänka med konvergens satsen här?

Är f_a och f_b kontinuerliga eller inte?

PATENTERAMERA skrev:

Är f_a och f_b kontinuerliga eller inte?

Det är dem. x=0 finns i båda intervall men x=pi finns inte i andra intervallet.

Vad menar du med att x = pi inte finns i andra intervallet?

Ta fram konvergenssatsen i boken och jämför vad som gäller för f_a och f_b.

PATENTERAMERA skrev:

Vad menar du med att x = pi inte finns i andra intervallet?

Ta fram konvergenssatsen i boken och jämför vad som gäller för f_a och f_b.

Jag menar att x=pi finns inte i intervallet [-pi,0] i f_a och f_b.  Såhär säger satsen

varför beräknar facit b_6 efter att de har tagit fram fourierkoefficienten för b_n? Måste man göra det ? Kan man inte nöja sig med att säga att b_n är si o så för n>=1 och n är skild från 6. 

PATENTERAMERA skrev:

a) Eftersom cos(-6x) = cos(6x) så ser du att ditt f_a är det som jag skrev. Fourierserien till en jämn funktion innehåller bara cosinus-termerna. Dvs har formen a/2 + $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \left(nx\right)$. Om du räknar ut a_n så ser du att du får noll för alla utom då n = 6. Gör det.

 

b) På liknande sätt så har Fourierserien till en udda funktion endast sinus-termerna. ${\int }_{-\mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}f\left(x\right)\cos \left(nx\right)dx=0$, om f är udda.

Jag fick nu a_n=0.  Dock undrar jag hur man ska hantera fallet med n=6 samt a_0. a_0 blir 1/2. Varför räknar man ens ut a_6 när n=6 inte är definierad? 

n = 6: cos(6x)cos(6x) = cos²(6x) = (1 + cos(12x))/2.

PATENTERAMERA skrev:

n = 6: cos(6x)cos(6x) = cos²(6x) = (1 + cos(12x))/2.

Jo det är sant. Men jag undrar varför man ska titta på det fallet.

Man måste räkna ut för alla värden på n. Men för n = 6 så funkar inte att göra på samma sätt som för andra värden. Det måste bli specialbehandling.

PATENTERAMERA skrev:

Man måste räkna ut för alla värden på n. Men för n = 6 så funkar inte att göra på samma sätt som för andra värden. Det måste bli specialbehandling.

HUr menar du? an=0 . Om jag förstår dig rätt så plockar man n=6 och n=0 av alla n och räknar ut det eftersom n=6 är det inte definierat. Det är ju mycket jobb att räkna för alla andra n 

n = 6 är definierat, men du kan inte använda samma sätt för att beräkna det.

För en udda funktion så blir a₀ = 0.

PATENTERAMERA skrev:

n = 6 är definierat, men du kan inte använda samma sätt för att beräkna det.

För en udda funktion så blir a₀ = 0.

Ok det här förstår jag inte. Jag köper att a_0=0 för udda för den finns inte ens med i b_n formeln eller när man tecknar fourierserie för en udda funktion. Vad menar du med att man inte kan använda på samma sätt för att beräkna det? Men b_6 har räknats ut utan någon giltig förklaring och a_6 också , varför ska dessa beräknas? n=6 är inte definierad för uttrycket jag fick i #27

Tänk på att den primitiva funktionen till cos(0•x) är inte sin(0•x)/0. Den är x (+C).

Chatgpt säger att a_n=0 för n skild från 6  och för n=6 är a_6=-1/2 pga ortogonalitet. Den säger också att b_6 hanteras separat för n=6 då formeln inte gäller för n=6 , så b_6 ska beräknas direkt från definitionen. Det är vad jag var ute efter med varför a₆ och b₆ beräknades.

PATENTERAMERA skrev:

Tänk på att den primitiva funktionen till cos(0•x) är inte sin(0•x)/0. Den är x (+C).

Tror inte jag förstår riktigt. Primitiv funktion till coskx är sinkx/k+C. Det har ingenting med mina frågor om varför a₆ och b₆ beräknas att göra.

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Vad menar du med att x = pi inte finns i andra intervallet?

Ta fram konvergenssatsen i boken och jämför vad som gäller för f_a och f_b.

Jag menar att x=pi finns inte i intervallet [-pi,0] i f_a och f_b.  Såhär säger satsen

Vilka punkter ska vi titta på?

destiny99 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Tänk på att den primitiva funktionen till cos(0•x) är inte sin(0•x)/0. Den är x (+C).

Tror inte jag förstår riktigt. Primitiv funktion till coskx är sinkx/k+C. Det har ingenting med mina frågor om varför a₆ och b₆ beräknas att göra.

Det gäller bara om k $\ne$ 0. Om k är noll så får vi cos(0x) = 1, och primitiv funktion blir x + C. 

PATENTERAMERA skrev:

Ja precis det är exakt det fallet vi har n=m=6 så har vi a_6 , för n=m skild från 6 så är det 0 och för n=m=0 så är det a_0

PATENTERAMERA skrev:

destiny99 skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Tänk på att den primitiva funktionen till cos(0•x) är inte sin(0•x)/0. Den är x (+C).

Tror inte jag förstår riktigt. Primitiv funktion till coskx är sinkx/k+C. Det har ingenting med mina frågor om varför a₆ och b₆ beräknas att göra.

Det gäller bara om k $\ne$ 0. Om k är noll så får vi cos(0x) = 1, och primitiv funktion blir x + C. 

Ok. I #37 så ser vi att x=pi och x=-pi är f_a(x)  ej kontinuerlig och samma med f_b(x). 

f_a(pi) = 0. f_a(-pi) = 0.

f_b(pi) = 0. f_b(-pi) = 0.

PATENTERAMERA skrev:

f_a(pi) = 0. f_a(-pi) = 0.

f_b(pi) = 0. f_b(-pi) = 0.

Hur vet man vilka punkter man ska titta på här? Manser tex att när x=> 0^+ och 0^- så är f_a(x) och f_b(x)  kontinuerlig. Så medelvärdet blir 0. Sen ska vi titta på om kontinuitet existerar för x=pi och x=-pi. Men vi ser att högergränsvärde saknas för x=pi och vänstergränsvärde saknas för x=-pi