Beräkna g som genereras av cylindersymmetriska masstätheten

Anyone?

Du måste behandla fallen att r $\le$ R och r > R separat.

I) r $\le$ R:

rg_r = $-4\mathrm{\pi GC}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{rdr}$.

II) r > R

rg_r = $-4\mathrm{\pi GC}{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{rdr}$.

PATENTERAMERA skrev:

Du måste behandla fallen att r $\le$ R och r > R separat.

I) r $\le$ R:

rg_r = $-4\mathrm{\pi GC}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{rdr}$.

II) r > R

rg_r = $-4\mathrm{\pi GC}{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{rdr}$.

Varför behandla dem separat? 

Generellt

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)r\mathrm{dr}$.

Om r mindre än eller lika med R

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{Crdr}$.

Om r större än R

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{Crdr}-4\mathrm{\pi G}{\int }_{\mathrm{R}}^{\mathrm{r}}0·\mathrm{rdr}=-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{Crdr}$.

PATENTERAMERA skrev:

Generellt

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)r\mathrm{dr}$.

Om r mindre än eller lika med R

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{Crdr}$.

Om r större än R

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{Crdr}-4\mathrm{\pi G}{\int }_{\mathrm{R}}^{\mathrm{r}}0·\mathrm{rdr}=-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{Crdr}$.

Hänger tyvärr inte med. Om r>=R , borde det inte vara gränserna 0 till r ? Den andra delen förstår jag inte riktigt.

För r > R delar du upp integralen från 0 till r i två delar: först från 0 till R (rho = C här) och sedan från R till r (rho = 0 här). Inga konstigheter.

PATENTERAMERA skrev:

För r > R delar du upp integralen från 0 till r i två delar: först från 0 till R (rho = C här) och sedan från R till r (rho = 0 här). Inga konstigheter.

Alltså det är faktiskt konstigheter för jag förstår inte varför r>R innebär 0 till r i två delar? Sen är jag även förvirrad över om det är r eller R som utgör gränserna.

Eftersom densiteten har olika värden mellan 0 och R (C) och mellan R och r (0). Inga konstigheter.

Om du har en funktion f som definierad så att f(x) = h(x) då x ligger mellan a och b och så att f(x) = h(x) då x ligger mellan b och c hur skulle du beräkna integralen

${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx$?

PATENTERAMERA skrev:

Eftersom densiteten har olika värden mellan 0 och R (C) och mellan R och r (0). Inga konstigheter.

Om du har en funktion f som definierad så att f(x) = h(x) då x ligger mellan a och b och så att f(x) = h(x) då x ligger mellan b och c hur skulle du beräkna integralen

${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx$?

så rho(r)=C då r<=R och rho(r)=0 då r>R vilket innebär att från 0 till R så är rho(r)=C och rho(r)=0 då r ligger mellan 0 och R.  Jag ser dock inte likheten mellan din exempelfunktion och uppgiften.

Enligt integral regler så är det väl såhär det gäller:

Haha, jag menade att f(x) = g(x) mellan b och c. Så att vi sätter f(x) = h(x) i första integralen och f(x) = g(x) i andra integralen.

PATENTERAMERA skrev:

Haha, jag menade att f(x) = g(x) mellan b och c. Så att vi sätter f(x) = h(x) i första integralen och f(x) = g(x) i andra integralen.

Menar du såhär då?

Ja, precis.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, precis.

Ok i vårt fall, hur kan vi relatera detta till vår uppgift ? Jag ser inte sambandet tyvärr.

rho(r) = C mellan 0 och R. rho(r) = 0 mellan R och oändlighet.

PATENTERAMERA skrev:

rho(r) = C mellan 0 och R. rho(r) = 0 mellan R och oändlighet.

Jaha ok då är jag med. lilla r är alltså integrationsvariabel. 

Ja.

PATENTERAMERA skrev:

Ja.

Men då har vi bara kvar -4piGCr integralen som är mellan 0 till r då den andra blir 0 dvs R till oändlighet. g(r) kommer då vara det jag fått i #1 samt 0 

Ja, för r större än R.

För r mindre än eller lika med R så varierar g_r linjärt med r.

Typ någonting i stil med

PATENTERAMERA skrev:

Ja, för r större än R.

För r mindre än eller lika med R så varierar g_r linjärt med r.

Typ någonting i stil med

Ja för r<=R så får vi ju det här svaret -2piG_NR²/r , men för r>R så borde g(r) 0 i intervallet (R, inf). Men facit fick något svar som -2piG_N/r och det förstår jag inte.

Nja, för r <= R så får du g_r = -kr. Där k är en konstant.

För r > R får du g_r = -k’/r. Där k’ är en konstant.

PATENTERAMERA skrev:

Nja, för r <= R så får du g_r = -kr. Där k är en konstant.

För r > R får du g_r = -k’/r. Där k’ är en konstant.

Nu hänger jag inte alls med. För r<=R så är g(r)=-kr där k =-4piG_NC men det andra förstår jag inte alls..

Vi har att (då r > R)

rg_r = $-4\mathrm{\pi C}{\int }_0^R\mathrm{rdr}$ = -2(pi)CR².

g_r = -2(pi)CR²/r = -k’/r. (k’ = 2(pi)CR²).

PATENTERAMERA skrev:

Vi har att (då r > R)

rg_r = $-4\mathrm{\pi C}{\int }_0^R\mathrm{rdr}$ = -2(pi)CR².

g_r = -2(pi)CR²/r = -k’/r. (k’ = 2(pi)CR²).

Den sista raden  förstår jag inte. Det ska väl vara g_r=-2piCR²/r som svar för r<=R?  jag kan säga att för r>=R är mitt svar korrekt men facit har en till svar på detta också , nämligen -2piCR/r och där vet jag inte varför och det gäller för r>R. Innan sa du även att r>R är fram R till inf och integranden blir 0 i det intervallet, men nu är jag ganska förvirrad då vi tittar på 0 =>R istället ? Har vi inte gjort en gång för r<=R?

Nej, det är för r > R.

För r <= R så är g_r = -2(pi)Cr = -kr.

PATENTERAMERA skrev:

Nej, det är för r > R.

För r <= R så är g_r = -2(pi)Cr = -kr.

Jag tror inte jag förstår hur man räknar på detta samt varför det ser ut som det gör. Jag fick ju enligt min uträkning -2piG_NCR²/r i #1 och tog för givet att det var just mellan 0 till R då r<=R , men då säger du att det är istället för r>R och jag förstår inte varför.

Se #5.

PATENTERAMERA skrev:

Se #5.

Jag förstår den inte heller.

Var tappar vi dig?

PATENTERAMERA skrev:

Var tappar vi dig?

Jag är bara med på uttrycket för att integrera mellan 0 till R i intervallet (0,R) (r <=R)vilket ger precis jag fått i #1. Men det som handlar om r>R är jag inte med på för du gör en integral uppdelning som inte är logiskt. Jag trodde r>R =(R,inf).

?

Nej. Det gäller alltid att

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}$.

Om r <= R.

$$\begin{gathered} r{g}_r=-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}=(\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)=\mathrm{C})=-4\mathrm{\pi GC}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{rdr}=-2{\mathrm{\pi GCr}}^2\Rightarrow \\ {\mathrm{g}}_{\mathrm{r}}=-2\mathrm{\pi GCr} \end{gathered}$$

Om r > R

$$\begin{gathered} r{g}_r=-2\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}=-4\mathrm{\pi G}\left[{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{r}\underset{\mathrm{C}}{\underbrace{\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)}}\mathrm{dr}+{\int }_{\mathrm{R}}^{\mathrm{r}}\mathrm{r}\underset{0}{\underbrace{\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)}}\mathrm{dr}\right]=-2{\mathrm{\pi GCR}}^2\Rightarrow \\ {g}_r=\frac{-2{\mathrm{\pi GCR}}^2}{r} \end{gathered}$$

PATENTERAMERA skrev:

Nej. Det gäller alltid att

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}$.

Om r <= R.

$$\begin{gathered} r{g}_r=-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}=(\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)=\mathrm{C})=-4\mathrm{\pi GC}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{rdr}=-2{\mathrm{\pi GCr}}^2\Rightarrow \\ {\mathrm{g}}_{\mathrm{r}}=-2\mathrm{\pi GCr} \end{gathered}$$

Om r > R

$$\begin{gathered} r{g}_r=-2\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}=-4\mathrm{\pi G}\left[{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{r}\underset{\mathrm{C}}{\underbrace{\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)}}\mathrm{dr}+{\int }_{\mathrm{R}}^{\mathrm{r}}\mathrm{r}\underset{0}{\underbrace{\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)}}\mathrm{dr}\right]=-2{\mathrm{\pi GCR}}^2\Rightarrow \\ {g}_r=\frac{-2{\mathrm{\pi GCR}}^2}{r} \end{gathered}$$

Jag förstår inte riktigt. Vi har gränserna 0 till r istället för 0 till R för fallet r<=R vilket är super förvirrande när r är integrationsvariabel. Det andra fallet förstår jag inte alls mig på den hur mycket du än integrerar för där tycker jag att det borde vara 0 som uppgiften säger. Annars vet jag inte hur man ska se på detta. 

Ja om man skulle vara petig så skulle man kalla integrationsvariabeln något annat.

Tex

rg_r(r) = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r}\text{'}\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\text{'}\right)\mathrm{dr}\text{'}$. Men ofta är man lite slarvig/lat.

PATENTERAMERA skrev:

Ja om man skulle vara petig så skulle man kalla integrationsvariabeln något annat.

Tex

rg_r(r) = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r}\text{'}\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\text{'}\right)\mathrm{dr}\text{'}$. Men ofta är man lite slarvig/lat.

Jag förstår fortfarande inte båda fall enligt allt jag skrev i #33.

Sov på saken. Kom tillbaka om det inte klarnar.

PATENTERAMERA skrev:

Sov på saken. Kom tillbaka om det inte klarnar.

PATENTERAMERA skrev:

Nej. Det gäller alltid att

rg_r = $-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}$.

Om r <= R.

$$\begin{gathered} r{g}_r=-4\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}=(\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)=\mathrm{C})=-4\mathrm{\pi GC}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{rdr}=-2{\mathrm{\pi GCr}}^2\Rightarrow \\ {\mathrm{g}}_{\mathrm{r}}=-2\mathrm{\pi GCr} \end{gathered}$$

Om r > R

$$\begin{gathered} r{g}_r=-2\mathrm{\pi G}{\int }_0^{\mathrm{r}}\mathrm{r\rho }\left(\mathrm{r}\right)\mathrm{dr}=-4\mathrm{\pi G}\left[{\int }_0^{\mathrm{R}}\mathrm{r}\underset{\mathrm{C}}{\underbrace{\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)}}\mathrm{dr}+{\int }_{\mathrm{R}}^{\mathrm{r}}\mathrm{r}\underset{0}{\underbrace{\mathrm{\rho }\left(\mathrm{r}\right)}}\mathrm{dr}\right]=-2{\mathrm{\pi GCR}}^2\Rightarrow \\ {g}_r=\frac{-2{\mathrm{\pi GCR}}^2}{r} \end{gathered}$$

I första fallet då r<=R. Varför är integrationsgränsen 0 till r och ej 0 till R om r är integrationsvariabel?  Man kan ju bara ersätta R^2 med r^2 då r=R i det intervallet och sen får man som du skrev.

I andra fallet då r>R så delar du upp integralen i två delar. Varför gör du det? Varför är 0 till r ekvivalent med 0 till R+R till r vad gäller gränserna? Då r>R så är det ju så att vi har R<r<inf egentligen.  Det borde väl bli R till r och sen r till inf?

Är detta från facit?

Som du säkert kommer ihåg så finns det en räkneregel för integraler.

${\int }_a^c={\int }_a^b+{\int }_b^c$

PATENTERAMERA skrev:

Är detta från facit?

Nej AI. Det är väl sant?

PATENTERAMERA skrev:

Som du säkert kommer ihåg så finns det en räkneregel för integraler.

${\int }_a^c={\int }_a^b+{\int }_b^c$

Jo det vet jag. Om a=R och c=inf så blir b=r och sen r till inf

Säg att du har ekvationen

f’(x) = h(x)

Då gäller formellt

${\int }_0^{a}f\text{'}\left(x\right)dx={\int }_0^{a}h\left(x\right)dx$, och med utnyttjande av integralkalkylens fundamentalsats

$f\left(a\right)-f\left(0\right)={\int }_0^{a}h\left(x\right)dx\Rightarrow f\left(a\right) = f\left(0\right)+{\int }_0^{a}h\left(x\right)dx$.

Vår ekvation ser ut som

f’(r) = $-kr\rho \left(r\right)$, där f(r) = rg_r(r).

Vi har då

${\int }_0^{a}f\text{'}\left(r\right)dr=-k{\int }_0^{a}r\rho \left(r\right)dr$

$f\left(a\right)-f\left(0\right)=a{g}_r\left(a\right)-0·g_r\left(0\right)=-k{\int }_0^{a}r\rho \left(r\right)dr\Rightarrow g_r\left(a\right)=\frac{-k}{a}{\int }_0^{a}r\rho \left(r\right)dr$

Är du med så långt?