Beräkna generaliserad summa

Har vi något krav på x? Det finns ett summauttryck, men då får x inte vara större än ett (eller mindre än minus ett).

Smutstvätt skrev:

Har vi något krav på x? Det finns ett summauttryck, men då får x inte vara större än ett (eller mindre än minus ett).

$\left|x\right|<1$ är det krav som finns. Man vet också att $\underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum x^k}}=\frac{1}{1-x}$

Löste den

Vad bra! Vill du lägga in din lösning här? :)

Smutstvätt skrev:

Vad bra! Vill du lägga in din lösning här? :)

Det jag gjorde var att jag utgick i från den givna summan $\sum _{k=0}^{\infty }{x}^k=\frac{1}{1-x}$ och dividerade den tills jag fick sen sökta summan $\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2{x}^k$. Såhär:

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum x^k=\frac{1}{1-x}}} då är f´\left(x\right)=\frac{1}{{(1-x)}^2}=\sum _{k=1}^{\infty }k{x}^{k-1} \\ \iff /multiplicera med x/\iff \frac{x}{{(x-1)}^2}=\sum _{k=1}^{\infty }k{x}^k\iff /dividera igen/\iff \\ -\frac{x+1}{{(x-1)}^3}=\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2{x}^{k-1}\iff /multiplicera med x igen/\iff \\ -\frac{x+1}{{(x-1)}^3}x=\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2{x}^k \end{gathered}$$

Därmed har jag kommit fram till min sökta summa.