Beräkna gransvärde (3/6)

Fortsätter med min morgon spammning av gransvärderna! Behöver rådgivning för att inte förstå fel gränsvärderna. Har fattat fel babysbytesmatriser och det har spökat under hela linjär algebra...

$\underset{x \to 0}{l i m} \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x}$

Om vi l'hopitaliserar uttrycket (vilket fin teknik ni har lärt mig!) får man rätt svar.

$\underset{x \to 0}{l i m} \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x} = \underset{x \to 0}{l i m} \frac{\frac{2}{1 + 4 x^{2}}}{3} = \frac{2}{3}$

Men om jag försöker nåt annat, kommer jag inte på nånting! Här är mina 2 försök. Är försök 1 användbart, och går försök 2 att rädda?

1. Jag har försökt med standard gransvärderna:

$\underset{x \to 0}{l i m} \frac{\frac{a r c \tan (2 x)}{2 x}}{\frac{3 x}{2 x}}$ . Och eftersom $\underset{x \to 0}{l i m} \frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1$ får jag $\frac{1}{(\frac{3}{2})} = \frac{2}{3}$

Är $\underset{x \to 0}{l i m} \frac{\tan x}{x} = \underset{x \to 0}{l i m} \frac{a r c \tan x}{x}$ ? Ingen anning, men jag gjorde det ändå för att... ingen var här för att stoppa mig.

2. Random variabel byte:

$\underset{x \to 0}{l i m} \frac{a r c \tan (2 x)}{3 x} = [\begin{matrix} a r c \tan (2 x) = y \\ \tan (y) = 2 x \end{matrix}] = \underset{x \to 0}{l i m} \frac{y}{\tan (y + x)}$ ... detta känns riktigt, riktigt fel.

Variabelbytet blir inte rätt, $tan(y+x)=tan(arctan(2x)+x) \neq 3x$ . Men idén med variabelbytet är inte dum.

$\frac{arctan(2x)}{3x}=\frac{y}{\frac{3}{2}tan(y)}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{tan(y)}{y}}\rightarrow\frac{2}{3}, {y \rightarrow 0}$

Att du får rätt med metod 2 är bara tur, du får (såklart) inte byta ut tan mot arctan utan vidare. Här räddas du av att båda är ungefär x runt 0, men det är som sagt bara tur.

Tack @haraldfreij, riktigt fint algebra viftande. Jag markerar tråden åt min framtiden, amnesisk jag.

Och är lim tan(x)/x samma som arctan(x)/x?

Hej!

Maclaurinutveckling av arctan-funktionen låter dig skriva $\arctan y = y + o(y)$ där $o(y)$ är en funktion sådan att $\lim_{y\to 0}\frac{o(y)}{y}=0$ .

$\displaystyle \frac{\arctan 2x}{3x}=\frac{2}{3}+\frac{o(2x)}{3x}.$

Hej Albiki!

Har inte kommit dit än. $o$ är nog sopkorgen för småtal (enligt vad jag försökte tolka imorse :)?)

dajamanté skrev:
Och är lim tan(x)/x samma som arctan(x)/x?

Det är det i och för sig (när x går mot 0), men använd inte det om du inte förstår varför:

$\lim_{x \to 0} \frac{a r c \tan (x)}{x} = [\begin{matrix} y = a r c \tan (x) \\ x \to 0 \Leftrightarrow y \to 0 \end{matrix}] = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan (y)} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\tan (y)}{y}} = \frac{1}{1} = 1$

haraldfreij skrev:
dajamanté skrev:
Och är lim tan(x)/x samma som arctan(x)/x?
Det är det i och för sig (när x går mot 0), men använd inte det om du inte förstår varför:
$\lim_{x \to 0} \frac{a r c \tan (x)}{x} = [\begin{matrix} y = a r c \tan (x) \\ x \to 0 \Leftrightarrow y \to 0 \end{matrix}] = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan (y)} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\tan (y)}{y}} = \frac{1}{1} = 1$

Jag ska använda med caution 😸. (men jag förstår varför... nu)

Svara

Visa senaste svar