20 svar

190 visningar

Lovelita är nöjd med hjälpen

Beräkna gränsvärde

Uppgiften är:

Beräkna följande gränsvärde:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3 x + \sin (x^{3}) - 3 \sin x}{{(\sin x)}^{3}}$

Jag började med att förenkla uttrycket till

$\frac{\sin (x^{3})}{\sin^{3} (x)}$

Sedan använde jag L'Hopitals regel och efter derivatan får jag

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \cdot 3 x^{2}}{3 \sin (x) \cos (x)}$

Använder L'Hopitals regeln igen och med derivatan ger det oss

$A n v ä n d e r L' H o p i t a l s i g e n o c h f å r \lim_{x \to 0} \frac{(x^{2} \cos (x^{3})) = 2 x \cos (x^{3}) - 3 x^{4} \sin (x^{3})}{\sin (2 x) \cos (x) - \sin^{3} (x)} . A n v ä n d e r L' H o p i t a l s o c h d e r i v a \tan i g e n o c h f å r \lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x^{3}) - 18^{3} \sin (x^{3}) - 9 x^{6} \cos (x^{3})}{2 \cos (2 x) \cos (x) - \sin (x) \sin (2 x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)} N ä r v i s l u t l i g e n f ö r e n k l a r o c h s ä t t e r x = 0 f å r v i \frac{2 \cos (0^{3}) - 18^{3} \sin (0^{3}) - 9 x^{6} \cos (0^{3})}{2 \cos (20) \cos (0) - \sin (0) \sin (20) - 3 \sin^{2} (0) \cos (0)} = \frac{2}{2} = 1$

Jag får således att svaret blir 1, men tydligen ska svaret blir -3. Vad gör jag för fel?

Hej!

$\sin{\left(3x\right)}\neq3\sin{\left(x\right)}$ .

Jag har inte testat men maclaurin utveckling verkar kanske lovande.

Moffen skrev:
Hej!

$\sin{\left(3x\right)}\neq3\sin{\left(x\right)}$ .

Jag har inte testat men maclaurin utveckling verkar kanske lovande.

Hej!

Tack, jag skall testa det!

Jag börjar då med att maclaurinutveckla

sin 3x i täljaren vilket är

$3 x - \frac{3^{3} x^{3}}{3!} + \frac{3^{5} x^{5}}{5!} - . . . .$

Maclaruinutvecklar sinx:

$x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - . . . .$

$\sin (x^{3}) = x^{3} - \frac{1}{6} x^{9} + \dots$

$- 3 \sin x = - 3 x + \frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{40} x^{5}$

och av

${(\sin x)}^{3} = x^{3} - \frac{1}{2} x^{5} + \frac{13}{120} x^{7}$

När jag fått fram maclaruinutvecklingen av samtliga termer, ersätter jag dem i täljaren och nämnaren och sen så förenklar jag. Och sist, ersätter jag x med 0. Tänker jag rätt?

Ja, men du behöver bara upp till tredjegradstermer.

Laguna skrev:
Ja, men du behöver bara upp till tredjegradstermer.

Hmm..Skulle du kunna förtydliga vad du menar? Att jag bara ska utveckla tredjegradstermer?

Ta med femtegradstermerna om du vill, men du kommer att märka att de inte behövs.

Laguna skrev:
Ta med femtegradstermerna om du vill, men du kommer att märka att de inte behövs.

Om jag har förstått det rätt så bör jag undvika att utveckla fram till

$\frac{3^{5} x^{5}}{5!}, \frac{x^{5}}{5!}, \frac{- 1}{6} x^{9}, \frac{- 1}{40} x^{5}$

etc.. eftersom jag då kommer behöva räkna mer än vad jag behöver sen? Eller?

Välj en lämplig ordning och håll dig till det, att blanda in ^9 bland alla ^5 är ganska värdelöst. Det tar lite träning att se innan hur många man behöver redan innan men det handlar typ om att se när termerna slutar ta ut varandra och bli 0 (som du ser händer med x^1 i täljaren). Här är det en ganska stor ledtråd att du har x^3 som första i nämnaren så då är det antagligen de som är intressanta.

Micimacko skrev:
Välj en lämplig ordning och håll dig till det, att blanda in ^9 bland alla ^5 är ganska värdelöst. Det tar lite träning att se innan hur många man behöver redan innan men det handlar typ om att se när termerna slutar ta ut varandra och bli 0 (som du ser händer med x^1 i täljaren). Här är det en ganska stor ledtråd att du har x^3 som första i nämnaren så då är det antagligen de som är intressanta.

Tack!

Hoppas jag förstått detta rätt nu då:

$\frac{3 x - \frac{3^{3} x^{3}}{6} + x^{3} - 3 x + \frac{1}{2} x^{3}}{x^{3}}$

Nu återstår det bara att förenkla?

Det blev -3 efter att jag förenklade, vilket är svaret så jag antar att jag gjort korrekt?? Känns för bra för att vara sant?!

Jag har inget papper framför mig för tillfället så kan inte dubbelkolla att du räknat rätt men du kan använda wolframalpha för att se om du har utvecklat allting korrekt. :)

Dracaena skrev:
Jag har inget papper framför mig för tillfället så kan inte dubbelkolla att du räknat rätt men du kan använda wolframalpha för att se om du har utvecklat allting korrekt. :)

Vore sjukt om jag lyckades göra det korrekt!

Stoppade nu in uttrycket och fick fram -3 också i wolframaplha.

Men jag kanske har gjort fel? Dvs kanske ej la in termerna korrekt i täljaren och nämnaren?

$\lim_{x \to 0} \frac{3 x - \frac{3^{3} x^{3}}{6} + x^{3} - 3 x + \frac{1}{2} x^{3}}{x^{3}}$

Vill typ inte råka ha rätt av misstag haha

Just det, jag borde ha med ordotermer!

Ja, det borde du definitivt. När jag läste envariabel fick vi avdrag om vi inte hade med Ordo hela beräkningen tills den försvinner när vi sedan låter x gå mot 0.

Okej, låt oss undersöka.

Vi börjar med täljaren, och provar att utveckla till O(x^4). Om vi tar det en i taget så borde vi få följande.
$\sin 3x = 3x-\dfrac{9x^3}{2}+ O(x^4)$
$\sin x^3 = x^3 + O(x^4)$
$3 \sin x = 3x- \dfrac{x^3}{2} + O(x^4)$
Vi förenklar täljaren: $3x-\dfrac{9x^3}{2}+ O(x^4)+ x^3 + O(x^4) -(3x- \dfrac{x^3}{2} + O(x^4))=-3x^3+O(x^4)$ .
Nämnaren utvecklas till: $(\sin x)^3=x^3+O(x^4)$ vilket nu ger: $\dfrac{-3x^3+O(x^4)}{x^3+O(x^4)} \rightarrow -3$ då $x \rightarrow 0$ .

Dracaena skrev:
Ja, det borde du definitivt. När jag läste envariabel fick vi avdrag om vi inte hade med Ordo hela beräkningen tills den försvinner när vi sedan låter x gå mot 0.

Har dock svårt att förstå hur man kan använda den i praktiken? borde jag ha O(x^4) vid ovanstående uttryck?

Tusen tack! Det blev mycket klarare :)

Har dock svårt att förstå hur man kan använda den i praktiken? borde jag ha O(x^4) vid ovanstående uttryck?

Ja, det måste du, eftersom utvecklingen är oändliga så det är inte matematiskt korrekt att påstå att sin(x) exemeplvis är lika med "ett finit antal termer", därför måste vi ha med Ordo. Läs hellre igenom länken bifogad nedan, sida 4/5 borde nog vara repetition nog för att du ska greppa ordo. :)

https://weber.itn.liu.se/~geoba/TNA008/Forelasningar/F18.pdf

Dracaena skrev:

Har dock svårt att förstå hur man kan använda den i praktiken? borde jag ha O(x^4) vid ovanstående uttryck?

Ja, det måste du, eftersom utvecklingen är oändliga så det är inte matematiskt korrekt att påstå att sin(x) exemeplvis är lika med "ett finit antal termer", därför måste vi ha med Ordo. Läs hellre igenom länken bifogad nedan, sida 4/5 borde nog vara repetition nog för att du ska greppa ordo. :)

https://weber.itn.liu.se/~geoba/TNA008/Forelasningar/F18.pdf

Tack snälla!!

Tar en titt på den och fortsätter med läsningen senare idag. Min hjärna håller på att kollapsa just nu, så behöver bara lite sömn först :)

Lovelita skrev:
Dracaena skrev:

Har dock svårt att förstå hur man kan använda den i praktiken? borde jag ha O(x^4) vid ovanstående uttryck?

Ja, det måste du, eftersom utvecklingen är oändliga så det är inte matematiskt korrekt att påstå att sin(x) exemeplvis är lika med "ett finit antal termer", därför måste vi ha med Ordo. Läs hellre igenom länken bifogad nedan, sida 4/5 borde nog vara repetition nog för att du ska greppa ordo. :)

https://weber.itn.liu.se/~geoba/TNA008/Forelasningar/F18.pdf

Tack snälla!!

Tar en titt på den och fortsätter med läsningen senare idag. Min hjärna håller på att kollapsa just nu, så behöver bara lite sömn först :)

Jag känner likadant. Återkom om något är oklart. :)

Svara Avbryt

Visa senaste svar