2 svar
42 visningar
Fannywi är nöjd med hjälpen!
Fannywi 122
Postad: 6 jul 2019

Beräkna gränsvärde med två variabler med hjälp av räkneregler och standardgränsvärde

I min kursbok finns ett exempel där man beräknat gränsvärdet lim(x,y)(0,0)ln(1+xy)xy·11+x2y2

där själva funktionen man vill ta gränsvärdet av har definitionsmängden x > 0, y>0.

De står i boken att med hjälp av sammansättningsregeln och standardgränsvärde så får man att ln(1+xy)xy

går mot 1 då (x,y) går mot 0. 

Jag undrar hur uträkningen ser ut för denna?

Sammansättningsregeln säger ju att då man har en sammansatt funktion g(f(x)) och

f(x) b då xasamtg(y) c då y b

så gäller sammansättningsregeln 

g(f(x)) c då xa.

Jag tänker att i detta fallet så har vi f(x,y) = 1+xy och g(t) = ln(t). Men f går mot 1 och g mot 0 då t går mot 1 så jag förstår inte riktigt.

 

Jag har precis börjat med gränsvärden igen och mina kunskaper från gränsvärden i envariabel är inte så färska i minnet så jag kan ha missat något basic.

Tack på förhand!  

AlvinB 3075
Postad: 6 jul 2019 Redigerad: 6 jul 2019

Jag skulle säga

f(x,y)=xyf(x,y)=xy och gt=ln(1+t)tg\left(t\right)=\dfrac{\ln(1+t)}{t}

Eftersom

lim(x,y)(0,0)xy=0\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy=0

blir gränsvärdet enligt sammansättningsregeln

lim(x,y)(0,0)ln(1+xy)xy=limt0ln(1+t)t=1\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\ln(1+xy)}{xy}=\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1

Fannywi 122
Postad: 6 jul 2019
AlvinB skrev:

Jag skulle säga

f(x,y)=xyf(x,y)=xy och gt=ln(1+t)tg\left(t\right)=\dfrac{\ln(1+t)}{t}

Eftersom

lim(x,y)(0,0)xy=0\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy=0

blir gränsvärdet enligt sammansättningsregeln

lim(x,y)(0,0)ln(1+xy)xy=limt0ln(1+t)t=1\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\ln(1+xy)}{xy}=\lim_{t\to0}\dfrac{\ln(1+t)}{t}=1

tack!

Svara Avbryt
Close