Beräkna hastighetsfältet u

"i (x,y) = (0,0)" står det. I origo ska alltså |u| vara ett ändligt tal.

Laguna skrev:

"i (x,y) = (0,0)" står det. I origo ska alltså |u| vara ett ändligt tal.

Hur menar du att |u| ska vara ändligt tal?

Alternativet är att det är odefinerat, t.ex. genom att man delar med noll. Det är det de menar med att jämföra med oändligheten.

1/2 är ett ändligt tal, 1/0 är inte det.

Laguna skrev:

Alternativet är att det är odefinerat, t.ex. genom att man delar med noll. Det är det de menar med att jämföra med oändligheten.

1/2 är ett ändligt tal, 1/0 är inte det.

Men det står ju |u|<inf, betyder det att u(r) ska vara mindre än oändligheten?

Mm.

Det klarnar kanske när du har fått fram något u som satisfierar ekvationerna.

Laguna skrev:

Mm.

Det klarnar kanske när du har fått fram något u som satisfierar ekvationerna.

Men hur ska man ta fram u? Det är ju där jag har fastnat.

Det vet jag inte, tyvärr. Jag svarade bara på sista frågan.

Eftersom w är någon slags vinkelhastighet hos vätskan så skulle man kanske kunna ansätta någon slags virvel kring z-axeln. Tex $\overrightarrow{u}=u_{\phi }\left(\rho \right){\overrightarrow{e}}_{\phi }$. Men jag vet inte om det ger den mest allmänna lösningen.

PATENTERAMERA skrev:

Eftersom w är någon slags vinkelhastighet hos vätskan så skulle man kanske kunna ansätta någon slags virvel kring z-axeln. Tex $\overrightarrow{u}=u_{\phi }\left(\rho \right){\overrightarrow{e}}_{\phi }$. Men jag vet inte om det ger den mest allmänna lösningen.

Men om jag ställer upp rotationen av u , hur vet jag vad u_r, u_phi och u_z är?  Eftersom w innehåller bara en z komponent, är det då bättre att fokusera på att ta fram en z komponent ur rotationen ? Det blir ju något istil med 1/rho*(d/u1(u_phi)-d/du2(u_rho)) där både u_rho och u_phi är både okända. Väldigt klurigt.

Ansatsen var att endast fi-komponenten är skild från noll. Samt att den endast beror av rho. Dvs u_z =  u_rho = 0. Då blir väl divv = 0 automatiskt.

Så sedan behöver man lösa rotu = w med utnyttjande av ansatsen.

Men som sagt så vet jag inte om det ger den mest allmänna lösningen.

Känns lite övermäktigt att ställa upp divu = 0 och rotu = w rent generellt och försöka lösa. Men det är 6p.

Har du facit?

Min ansats var att sätta u_z och u_rho till noll och anta att u_fi bara beror på rho, eftersom w bara beror på rho.

Det leder till en lösning, men kanske inte den mest generella.

Eftersom divv = 0 så har v en vektorpotenial a sådan att u = rota. Då kan man istället försöka lösa rot(rota) = w. Då blir divv automatiskt uppfyllt. Men även det ser krångligt ut.

PATENTERAMERA skrev:

Min ansats var att sätta u_z och u_rho till noll och anta att u_fi bara beror på rho, eftersom w bara beror på rho.

Det leder till en lösning, men kanske inte den mest generella.

Eftersom divv = 0 så har v en vektorpotenial a sådan att u = rota. Då kan man istället försöka lösa rot(rota) = w. Då blir divv automatiskt uppfyllt. Men även det ser krångligt ut.

Ja jag har facit, men förstår ej problemet eller dina tankegångar om jag ska vara helt ärlig och de förklarar inte så tydligt.

Visa facit. Så kanske vi i alla fall kan klura ut hur de har gjort.

PATENTERAMERA skrev:

Visa facit. Så kanske vi i alla fall kan klura ut hur de har gjort.

Jag förstår inte ansatsen med u(r) och var det kommer ifrån samt hur de vet att alla andra komponenter av u är 0 förutom e_phi. 

Ja, de gör samma ansats som jag gjorde lite på magkänsla.

Eftersom uppgiften inte säger att man skall hitta någon lösning, så borde man kanske ha motiverat varför detta är den enda lösningen, tycker jag.

Om uppgiften varit att hitta någon lösning så hade det varit OK med ansats tycker jag.

Tycker de borde gett en ledning, för jag tror inte alla kommit på ansatsen, och då missat 6p på tentan.

PATENTERAMERA skrev:

Ja, de gör samma ansats som jag gjorde lite på magkänsla.

Eftersom uppgiften inte säger att man skall hitta någon lösning, så borde man kanske ha motiverat varför detta är den enda lösningen, tycker jag.

Om uppgiften varit att hitta någon lösning så hade det varit OK med ansats tycker jag.

Tycker de borde gett en ledning, för jag tror inte alla kommit på ansatsen, och då missat 6p på tentan.

Ja det tycker jag också vore bra med ledning. 

Om du nu accepterar ansatsen. Förstår du lösningen?

PATENTERAMERA skrev:

Om du nu accepterar ansatsen. Förstår du lösningen?

Som jag sa jag förstår inte lösningen alls. Men kan acceptera den. Här kommer några frågor till  uppgiftens lösning:

1) varför gör de ansatsen u(r)=f(rho)e_phi?

2)varför är u_r och u_z=0 när man utför rotationen ? Vad är syftet?

1) Ja, det blir ju lite av en gissning. Du kan se min tankegång i #9. Men om man inte kommer på denna gissning så är man rätt körd.

2) Det följer av ansatsen i 1). u_rho = 0. u_z = 0. u_fi = u_fi(rho). Enligt ansats.

PATENTERAMERA skrev:

1) Ja, det blir ju lite av en gissning. Du kan se min tankegång i #9. Men om man inte kommer på denna gissning så är man rätt körd.

2) Det följer av ansatsen i 1). u_rho = 0. u_z = 0. u_fi = u_fi(rho). Enligt ansats.

Ja asså jag förstår tyvärr inte din ansats heller.  Jag tror denna fråga är som du säger omöjlig att lösa om man inte kommer på att göra som facit så är det tecken på att gå vidare från uppgiften. Jag kan dessvärre inte hjälpa att jag inte förstår facits lösning+din tankegång. Ska se om det förklaras på annat håll.

Ja, uppgiften blir ju svår eftersom man först måste förstå att man skall lösa uppgiften genom att göra en ansats och sedan komma på vilken ansats man skall göra.

Vad jag gör är en ”kvalificerad” gissning och det är inte något som jag kommer fram till genom ett perfekt logiskt resonemang utan blir lite på magkänsla.

Kanske ni gått igenom ett liknande problem på föreläsningar så att ni hade något att gå på.

PATENTERAMERA skrev:

Kanske ni gått igenom ett liknande problem på föreläsningar så att ni hade något att gå på.

Jag känner tyvärr inte igen detta. Jag förstår inte iden bakom ansatsen och varför u_r=u_z=0 och varför man inför rhof(rho) när man utför rot.  Det är många steg i denna lösning som känns inte trivial. Jag hade hoppats på en förståelig förklaring här på PA men det verkar ej som det. Denna uppgift var väldigt olik andra uppgifter där man har en ledning osv. Tack ändå!

Det är ju ganska uppenbart att facits lösning inte är den enda lösningen till (i) och (ii). Tex kan man lägga till ett konstant hastighetsfält och uppfylla ekvationerna.

Mer generellt, om u är en lösning till (i) och (ii) så är v = u + $\nabla \varphi$ också en lösning om $\varphi$ är en lösning till Laplaces ekvation ${\nabla }^2\varphi =0$.