Beräkna i modulo 17

Du ska räkna i modulo 17. Eftersom 17 är ett primtal kan du använda Fermats lilla sats för att hitta en potens av 12 som är kongruent med 1 mod 17. En formulering av Fermats lilla sats är:

$a^{p-1}\equiv 1 (mod p)$

Det betyder att

$$\begin{gathered} {12}^{17-1}\equiv 1 (mod 17) \\ {12}^{16}\equiv 1 (mod 17) \end{gathered}$$

Kan du bryta ut ${12}^{16}$ ur ${12}^{{12}^{12}}$ på något sätt?

Precis efter lite räkning jag kom fram till att

${12}^{16} = 1 \left(mod17\right)$

men som svar på din fråga, nej jag vet inte hur jag skulle bryta ut ${12}^{16}$ur ${12}^{{12}^{12}}$:/

${12}^{12}={12}^2*{12}^{10}=4^2*3^2*{12}^{10}=16*3^2*{12}^{10}$

Alltså är

${12}^{{12}^{12}}={12}^{16*3^2*{12}^{10}}={\left({12}^{16}\right)}^{3^2*{12}^{10}}$

Aah nu ser jag, grymt!

Så svaret blir:

$\equiv 1^{3^2*{12}^{16}} \equiv 1 (mod 17)$

Facit säger nämligen 0 men det verkar ju inte stämma..

${12}^{{12}^{12}}$ innehåller inte 17 som en primtalsfaktor (bara 2 och 3), så 17 kan ju aldrig dela ${12}^{{12}^{12}}$, så facit måste vara fel!