4 svar
102 visningar
AlvinB är nöjd med hjälpen!
AlvinB Online 3212
Postad: 5 okt 2018 Redigerad: 5 okt 2018

Beräkna integral utan att använda analysens fundamentalsats.

Hej!

Här är en liten kluring angående integraler som jag kom på i veckan:

Beräkna integralen

-22\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}ll(\color{transparent}\dfrac{l}{l}\color{black}(sin(x3)\sin(\sqrt[3]{x}) +1π)2-x2 dx+\dfrac{1}{\pi})\sqrt{2-x^2}\ dx

utan att använda analysens fundamentalsats.

Notera att eventuella följdsatser till analysens fundamentalsats får användas, det är enbart analysens fundamentalsats (det som står under 'Formal statements' här) som inte får användas.

Dr. G 4526
Postad: 5 okt 2018

Det går med lite geometri i kombination med ett ibland användbart trick för att beräkna en viss typ av integraler på en viss typ av intervall.

Albiki 4226
Postad: 5 okt 2018 Redigerad: 5 okt 2018

Integranden (sinx1/3)2-x2(\sin x^{1/3})\sqrt{2-x^2} är en udda funktion vilket gör att den sökta integralen är lika med

    1π-222-x2dx=1\frac{1}{\pi}\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\sqrt{2-x^2}\,dx = 1.

tomast80 2487
Postad: 6 okt 2018 Redigerad: 6 okt 2018

Kan tillägga att funktionen:

y=2-x2y=\sqrt{2-x^2} kan skrivas på formen:

y2=(2)2-x2y^2=(\sqrt2)^2-x^2\Rightarrow

x2+y2=(2)2x^2+y^2=(\sqrt2)^2

Integrationsgränserna ger att integralen, den som Albiki har på slutet, blir:

1π·Ahalvcirkel=\frac{1}{\pi}\cdot A_{halvcirkel}=

1π·12·πr2=1

AlvinB Online 3212
Postad: 6 okt 2018

Japp, det var lösningen jag också tänkte mig. Kanske lite väl enkelt för så erfarna matematiker som ni... :-)

Svara Avbryt
Close