Beräkna integral

Taylors formel? Du får förklara vad du gör för jag förstår det inte. Integralen löser man enkelt med substitutionen x-2=t.

Jag hade också lite svårt att förstå vad du menade och varför Taylors formel kom in i bilden, men sedan insåg jag att du nog väljer att Taylorutveckla funktionen $f\left(x\right)=x^3$ runt x = 2. Då kommer man fram till det du skriver (fast du har nog missat någon parentes):$\int x^3/(x-2{)}^{8}dx=\int \frac{8+12(x-2)+6(x-2{)}^2+(x-2{)}^3}{(x-2{)}^8}dx=...=\int 8/(x-2{)}^8+12/(x-2{)}^7+6/(x-2{)}^6+1/(x-2{)}^{5}dx$. Det kan du skriva om som $\int 8\times (x-2{)}^{-8}+12\times (x-2{)}^{-7}+6\times (x-2{)}^{-6}+(x-2{)}^{-5}dx$. Sedan är det "rakt på", då det inte är någon omständlig inre derivata som du behöver ta hänsyn till. T.ex. $\int 8\times (x-2{)}^{-8}dx=\frac{8\times (x-2{)}^{-8+1}}{-8+1}=8\times (x-2{)}^{-7}/(-7)=-8/7/(x-2{)}^7$, och så motsvarande för övriga termer.

Själv skulle jag dock föredra att, som Henrik skriver, gå via substitution, t.ex. t=x-2 --> x = t+2 och dt=dx. Då kan du skriva om integralen som $\int \frac{x^3}{(x-2{)}^8}dx =\hspace{0.17em}\int \frac{(t+2{)}^3}{t^8}dt=\int \frac{t^3+6t^2+12t+8}{t^8}dt=\int t^{-5}+6t^{-6}+12t^{-7}+8t^{-8}dt=...$ $=-(1/4)t^{-4}-(6/5)t^{-5}-2t^{-6}-(8/7)t^{-7}$, och där byta ut t mot (x-2). Blir samma resultat som via Taylor.

$\frac{1}{x^7}=x^{-7}...osv$

När du deriverar svaret så ser du exakt det du har skrivit

Hej!

Man kan också utnyttja att $2-2 = 0$ och skriva

    $\displaystyle x^3 = ((x-2)+2)^3\ .$

Sedan ger kuberingsregeln resultatet

    Error converting from LaTeX to MathML

Integranden blir därför lika med följande funktion.

    $\displaystyle \frac{x^3}{(x-2)^8} = \frac{1}{(x-2)^5} + \frac{6}{(x-2)^6} + \frac{12}{(x-2)^7}+\frac{8}{(x-2)^8}\ .$

Albiki