beräkna koeffecienten framför x^4

Tänk på binomialsatsen. Du har två uttryck som kommer att ge några $x^{2}$-uttryck. Börja med $2x^2$-delen. Vilket värde på k ger exponenten 4? Vilken koefficient ger det? Titta sedan på bråkuttrycket. Vilket värde på k ger detta uttryck exponenten fyra? Vilken koefficient ger det?

Smutstvätt skrev:

Tänk på binomialsatsen. Du har två uttryck som kommer att ge några $x^{2}$-uttryck. Börja med $2x^2$-delen. Vilket värde på k ger exponenten 4? Vilken koefficient ger det? Titta sedan på bråkuttrycket. Vilket värde på k ger detta uttryck exponenten fyra? Vilken koefficient ger det?

 k=x^2 och k=x^3. känns som jag tänker fel?

Är du säker på att du skrivit av uppgiften rätt? Det finns ingen $x^{4}$-term i det uttrycket. Är x:et i nämnaren?

Smutstvätt skrev:

 

Är du säker på att du skrivit av uppgiften rätt? Det finns ingen $x^{4}$-term i det uttrycket. Är x:et i nämnaren?

 Ja det har du rätt i. Ska vara i nämnaren.

Okej, så ${\left(2x^2+\frac{2}{4x}\right)}^5$? Detta är ett vanligt problem, med en elegant lösning. Därför är följande förklaring i något slags steg för steg-guide (jag experimenterar lite med pedagogik, hehe). Metodiken är följande:

1. Plocka fram binomialsatsen, och skriv in de uppgifter du har:

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)·a^k·b^{n-k}$

${\left(2x^2+\frac{2}{4x}\right)}^5=\sum _{k=0}^5\left(\begin{array}{c}5\\ k\end{array}\right)·(2x^2{)}^k·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-k}$

2. Målet är att hitta det värde på k som ger oss en $x^{4}$-term. Summeringen och de kombinatoriska beräkningarna har bara med koefficienterna att göra. Det lägger vi undan till senare. Vi tittar endast på x-uttrycken. Steg två är att skriva ihop dem på ett gemensamt bråkstreck. Det ger uttrycket:

$\frac{2^k·x^{2k}·2^{5-k}}{4^{5-k}·x^{5-k}}$

3. Koefficienterna, dvs. alla ensamma siffror, kan vi lämna till senare. Det som är intressant här är våra x-termer, och att de ska bli lika med $x^{4}$. Ställ upp en ekvation med den information som är relevant: 

$\frac{x^{2k}}{x^{5-k}}=x^4$

4. Potenslagarna medför att vi kan förenkla ekvationen, tills vi tillslut kan lösa ut det värde på k som ger en $x^{4}$-term. Det är steg fyra:

$x^{2k-(5-k)}=x^4$
$x^{3k-5}=x^4$
$3k-5=4$
$k=3$

5. Då har vi konstaterat att det är när k = 3 som vi får en $x^{4}$-term. Då kan vi gå tillbaka till originaluttrycket för att räkna ut koefficienten. Sätt in k = 3 i originaluttrycket:

$\sum _{k=0}^5\left(\begin{array}{c}5\\ k\end{array}\right)·(2x^2{)}^k·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-k}$ (bortse från summatecknet. Vi är bara intresserade av en term)

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)·(2x^2{)}^3·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-3}$
$10·2^3·x^{2^3}·\frac{4}{16x^2}=\frac{80·4·x^6}{16x^2}=20x^4$

Svaret är alltså att koefficienten framför $x^{4}$ är 20. 

Smutstvätt skrev:

Okej, så ${\left(2x^2+\frac{2}{4x}\right)}^5$? Detta är ett vanligt problem, med en elegant lösning. Därför är följande förklaring i något slags steg för steg-guide (jag experimenterar lite med pedagogik, hehe). Metodiken är följande:

1. Plocka fram binomialsatsen, och skriv in de uppgifter du har:

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)·a^k·b^{n-k}$

${\left(2x^2+\frac{2}{4x}\right)}^5=\sum _{k=0}^5\left(\begin{array}{c}5\\ k\end{array}\right)·(2x^2{)}^k·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-k}$

2. Målet är att hitta det värde på k som ger oss en $x^{4}$-term. Summeringen och de kombinatoriska beräkningarna har bara med koefficienterna att göra. Det lägger vi undan till senare. Vi tittar endast på x-uttrycken. Steg två är att skriva ihop dem på ett gemensamt bråkstreck. Det ger uttrycket:

$\frac{2^k·x^{2k}·2^{5-k}}{4^{5-k}·x^{5-k}}$

3. Koefficienterna, dvs. alla ensamma siffror, kan vi lämna till senare. Det som är intressant här är våra x-termer, och att de ska bli lika med $x^{4}$. Ställ upp en ekvation med den information som är relevant: 

$\frac{x^{2k}}{x^{5-k}}=x^4$

4. Potenslagarna medför att vi kan förenkla ekvationen, tills vi tillslut kan lösa ut det värde på k som ger en $x^{4}$-term. Det är steg fyra:

$x^{2k-(5-k)}=x^4$
$x^{3k-5}=x^4$
$3k-5=4$
$k=3$

5. Då har vi konstaterat att det är när k = 3 som vi får en $x^{4}$-term. Då kan vi gå tillbaka till originaluttrycket för att räkna ut koefficienten. Sätt in k = 3 i originaluttrycket:

$\sum _{k=0}^5\left(\begin{array}{c}5\\ k\end{array}\right)·(2x^2{)}^k·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-k}$ (bortse från summatecknet. Vi är bara intresserade av en term)

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)·(2x^2{)}^3·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-3}$
$10·2^3·x^{2^3}·\frac{4}{16x^2}=\frac{80·4·x^6}{16x^2}=20x^4$

Svaret är alltså att koefficienten framför $x^{4}$ är 20. 

 Vid steg 2, varför skriver vi de på ett gemensamt bråkstreck? Och vart kommer 4^5-k ifrån?

Vi skriver dem på ett gemensamt bråkstreck för att det ska bli lättare att förenkla. Vi har ju ett bråkstreck från en term, och då måste vi antingen skriva om den termen som $2·{\left(4x\right)}^{-1}$, och sedan fortsätta räkna, eller skriver vi allt på samma bråkstreck och tar oss vidare därifrån (vilket är mycket enklare, eftersom det bara är multiplikation med bråk).

Angående koefficienten: Vi har fått termen ${\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-k}$. Potensreglerna ger då att:

$\frac{2^{5-k}}{(4x{)}^{5-k}}=\frac{2^{5-k}}{4^{5-k}·x^{5-k}}$.

Anledningen till att jag valde att skriva ut dem direkt var för att vi skulle göra oss av med koefficienterna sedan. Om det känns enklare kan du välja ut bara x-delarna av termerna redan från början. Då skulle du få att den ena termen är $x^{2}$, och att den andra termen är $\frac{1}{x}$. Det är bara en smaksak.

Smutstvätt skrev:

Okej, så ${\left(2x^2+\frac{2}{4x}\right)}^5$? Detta är ett vanligt problem, med en elegant lösning. Därför är följande förklaring i något slags steg för steg-guide (jag experimenterar lite med pedagogik, hehe). Metodiken är följande:

1. Plocka fram binomialsatsen, och skriv in de uppgifter du har:

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)·a^k·b^{n-k}$

${\left(2x^2+\frac{2}{4x}\right)}^5=\sum _{k=0}^5\left(\begin{array}{c}5\\ k\end{array}\right)·(2x^2{)}^k·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-k}$

2. Målet är att hitta det värde på k som ger oss en $x^{4}$-term. Summeringen och de kombinatoriska beräkningarna har bara med koefficienterna att göra. Det lägger vi undan till senare. Vi tittar endast på x-uttrycken. Steg två är att skriva ihop dem på ett gemensamt bråkstreck. Det ger uttrycket:

$\frac{2^k·x^{2k}·2^{5-k}}{4^{5-k}·x^{5-k}}$

3. Koefficienterna, dvs. alla ensamma siffror, kan vi lämna till senare. Det som är intressant här är våra x-termer, och att de ska bli lika med $x^{4}$. Ställ upp en ekvation med den information som är relevant: 

$\frac{x^{2k}}{x^{5-k}}=x^4$

4. Potenslagarna medför att vi kan förenkla ekvationen, tills vi tillslut kan lösa ut det värde på k som ger en $x^{4}$-term. Det är steg fyra:

$x^{2k-(5-k)}=x^4$
$x^{3k-5}=x^4$
$3k-5=4$
$k=3$

5. Då har vi konstaterat att det är när k = 3 som vi får en $x^{4}$-term. Då kan vi gå tillbaka till originaluttrycket för att räkna ut koefficienten. Sätt in k = 3 i originaluttrycket:

$\sum _{k=0}^5\left(\begin{array}{c}5\\ k\end{array}\right)·(2x^2{)}^k·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-k}$ (bortse från summatecknet. Vi är bara intresserade av en term)

$\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)·(2x^2{)}^3·{\left(\frac{2}{4x}\right)}^{5-3}$
$10·2^3·x^{2^3}·\frac{4}{16x^2}=\frac{80·4·x^6}{16x^2}=20x^4$

Svaret är alltså att koefficienten framför $x^{4}$ är 20. 

 okej! efter k:et tagits fram. Varför blir det fel när jag gör på följande sätt: $10*2^3*x^6*\frac{2^3}{x^2}=10*8*8*x^4?$

Var tog sexton i nämnaren vägen? Sedan ska det vara $2^{2}$ i täljaren, inte $2^{3}$. 

Smutstvätt skrev:

Var tog sexton i nämnaren vägen? Sedan ska det vara $2^{2}$ i täljaren, inte $2^{3}$. 

 det hade jag missat. Nu hängde jag med! tack så mycket igen! :)

Varsågod! Alltid kul att kunna hjälpa till!