13 svar

220 visningar

Eugenia är nöjd med hjälpen

Beräkna kroppens volym

Hej! Jag fastnat på uppgiften lite:

Området som begränsas av kurvan: $y = a x^{2}, (a > 0)$ , x axeln och linjen x=2 får rotera dels kring x-axeln, dels kring y-axeln. Undersök om talet a kan väljas så att volymen av rotationskroppen runt x axeln är hälften så stor som volymen av rotationskroppen runt y-axeln

Jag tänkte mig så här :

$r o t a t i o n r u n t x - a x e l g e r : V = π \int_{0}^{2} {ax}^{2} d x = π [\begin{matrix} \frac{a^{2} x^{5}}{5} \end{matrix}] \begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix} = \frac{32 {πa}^{2}}{5}$

$r o t a t i o n r u n t y - a x e l g e r : V = π \int_{0}^{4 a} \frac{y}{a} d y = π [\begin{matrix} \frac{y^{2}}{2 a} \end{matrix}] \begin{matrix} 4 a \\ 0 \end{matrix} = π (\frac{{(4 a)}^{2}}{2 a}) = 8 πa$

Då tänkte jag att om rotationen runt x axeln ska vara hälften så stor då måste det alltså betyda att $V_{r u n t y - a x e \ln} \times 1, 5 (\times 50 % l i k s o m)$

dvs: $8 πa \times 1, 5 = \frac{32 {πa}^{2}}{5}$

Jag fick svar a=1,875

men när jag försöker att kontrollera svaret då stämmer det inte.>>>

$8 π \times 1, 875 \approx 47, 12 o c h \frac{32 π \times 1, 875^{2}}{5} \approx 70, 69$

Vad gör jag för fel?

Här är min skiss:

Jag misstänker att du använt formeln för rotation runt x- respektive y-axeln utan att veta exakt hur de ska tillämpas.

I ena fallet är arean av en skiva $A=\pi r^2$ . Vad är radien $r$ här?

I andra fallet har skivan ett hål i mitten som du måste ta hänsyn till.

Rita två figurer där du tydligt visar hur skivorna ser ut i de båda faklen.

Yngve skrev:
Dubbelkolla dina integrander.

I båda fallen är arean av en skiva $A=\pi r^2$ .

Frågan är nu vad radien $r$ är i de båda fallen?

Rita ut radierna i din figur.

aaaaaa, javisst, den andra har ett hål i mitten! så jag kan använda i det faller skalmetoden då att hitta volymen för figuren som roteras kring y axeln

Jag har uppdaterat mitt svar. Läs gärna det igen.

Du behöver alltså visualisera skivorna/skalen så att du kan välja rätt form på dina integrander.

Yngve skrev:
Jag har uppdaterat mitt svar. Läs gärna det igen.

Du behöver alltså visualisera skivorna så att du kan välja rätt form på dina integrander.

Kolla, nu fungerar det bra , eller?

Om jag sätter in värden på i $\frac{32 π \times 0, 464^{2}}{5} \approx 4, 33$ och $128 π \times 0, 464^{5} \approx 8, 66$

Yngve skrev:
Jag har uppdaterat mitt svar. Läs gärna det igen.

Du behöver alltså visualisera skivorna/skalen så att du kan välja rätt form på dina integrander.

Jag gjorde det med skalmetoden, då räknar jag volymen utan hål direkt

Eugenia skrev:

Jag gjorde det med skalmetoden, då räknar jag volymen utan hål direkt

Ja, så kan du göra, men den integralen stämmer inte riktigt ändå. Kolla integrationsgränserna.

Yngve skrev:
Eugenia skrev:

Jag gjorde det med skalmetoden, då räknar jag volymen utan hål direkt

Ja, så kan du göra, men den integralen stämmer inte riktigt ändå. Kolla integrationsgränserna.

Hm, när man ska integrera $V = π \int_{a}^{b} y^{2} d x d å a o c h b g r ä n s e r n a p å x a x e l V = π \int_{a}^{b} x^{2} d y d å a o c h b g r ä n s e r n a p å y a x e l$

eller?

Vad är det för fel jag har? jag ser inte..

Du använder ju inte skivmetoden utan skalmetoden vid rotationen runt y-axeln.

Yngve skrev:
Eugenia skrev:

Jag gjorde det med skalmetoden, då räknar jag volymen utan hål direkt

Ja, så kan du göra, men den integralen stämmer inte riktigt ändå. Kolla integrationsgränserna.

aaaa, vänta, kanske så >> $2 = a x^{2} x^{2} = \frac{2}{a} x = \sqrt{\frac{2}{a}}$

så roten ur 2/a är min integrationsgräns då?...

Yngve skrev:
Du använder ju inte skivmetoden utan skalmetoden vid rotationen runt y-axeln.

aaaa, just det....Omg, jag blandat altihop.. Tacckkk!

Yngve skrev:
Du använder ju inte skivmetoden utan skalmetoden vid rotationen runt y-axeln.

Så det ska vara från 0 till 2

Eugenia skrev:

Så det ska vara från 0 till 2

Ja.

Jag tror att du slipper göra såna här enkla fel om du lägger mer tid på att för dig själv visualisera rotationskropparna, skivorna/skalen och tydligt ange vilka områdets gränser är.

Yngve skrev:
Eugenia skrev:

Så det ska vara från 0 till 2

Ja.

Jag tror att du slipper göra såna här enkla fel om du lägger mer tid på att för dig själv visualisera rotationskropparna, skivorna/skalen och tydligt ange vilka områdets gränser är.

Tack så mycket!

Svara Avbryt

Visa senaste svar