beräkna kurvintegral

$\int_{y} (- y d x + x d y) / x^{2} + y^{2}$

Jag ska beräkna det där y löper i (+) riktning längs ellipsen x^2 + (y/2)^2 = 1 från (1,0) till (0,-2).

Jag har beräknat med greens formel och får fram det till att både P och Q blir (y^2-x^2)/(x^2+y^2) dvs att det blir 0. Så jag gjorde en rät linje (u) från (0,-2) till (1,0) och fick den till y=2x-2. Sen utvecklade jag tills att jag fick att kurvintegralen y = negativ kurvintegral av u. sedan har jag parametriserad u genom att sätta x=t y=2t-2 och lagt in deras värden in i integralen men jag kommer inte längre för det känns inte rätt alls. Svaret ska bli 3pi/2 och jag har tror inte att jag har något sätt att skaffa fram pi genom den integralen.

Hjälp snälla

Denna skrift visar flera exempel på din integrand

https://people.kth.se/~lhakan/Nr18april26.pdf

Trinity2 skrev:
Denna skrift visar flera exempel på din integrand

https://people.kth.se/~lhakan/Nr18april26.pdf

Tack så mycket!

Trinity2 skrev:
Denna skrift visar flera exempel på din integrand

https://people.kth.se/~lhakan/Nr18april26.pdf

Hej så jag har fått fram det till $\int_{0}^{2 π} \frac{4}{5 + 3 \cos (2 ϑ)} d ϑ$

Skulle du snälla kunna tipsa om hur man löser en sådan integral? Eller finns det ett annat smidigare sätt att tänka runt problem än att parametrisera och sedan beräkna integralen?

Lexapo skrev:
Hej så jag har fått fram det till $\int_{0}^{2 π} \frac{4}{5 + 3 \cos (2 ϑ)} d ϑ$

Skulle du snälla kunna tipsa om hur man löser en sådan integral? Eller finns det ett annat smidigare sätt att tänka runt problem än att parametrisera och sedan beräkna integralen?

Integrationsgränserna från 0 till 2pi motsvarar ett helt varv runt ellipsen, vilket ej kan stämma om den givna kurvan ska gå från (1,0) till (0,-2).

Skriv om $\cos \left(2\theta\right) = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = \dfrac{2}{1+\tan^2 \theta} - 1$ . Därefter kommer det att gå att göra variabelbyte $\tan \theta = u$ med $d\theta = \frac{du}{1+u^2}$ . Problem dock uppstår med integrationsintervallet eftersom det är längre än en period av tangensfunktionen, så man blir tvungen att dela upp integralen i delintervall (innan variabelbytet).

Med tanke på att denna uppgift inte verkar tillhöra någon envariabelsanalyskurs, så känns denna lösningsmetod alldeles för omständlig för att vara det man egentligen är ute efter.

I ditt ursprungliga försök kompletterade du ellipsbågen med en sträcka och använde Greens formel. Det gick inte bra då området innehöll origo där vektorfältet inte är kontinuerligt deriverbar.

Man kan dock komplettera den givna ellipsbågen med en cirkelbåge och en sträcka så att man undviker origo i Greens formel, t.ex.

Areaintegralen blir noll (då vektorfältets rotation är 0), kurvintegralen över den gröna sträckan blir 0 (då x=0 och dx = 0 längs sträckan), kurvintegralen över cirkelbågen måste beräknas för hand, vilket du kan göra på samma sätt som i Exempel 3 i dokumentet som Trinity2 länkade till.

Svara

Visa senaste svar