Beräkna linjeintegralen i givna vektorfältet längs en kurva och ett plan

God dag!

Jag har fastnat på en matteuppgift gällande linjeintegraler i vektorfält.

Uppgiften: 

Mitt tänk:

Först tänker jag att man skall få fram en vektor funktion med hjälp av skärningspunkten av cylindern och planet.

$$\begin{gathered} x^2 + y^2 = 1 \left(1\right) \\ z = y \left(2\right) \\ y =\hspace{0.17em}\sqrt{1-x^2} \\ Sätter x = t, ty vi behöver en "dummy variable" för att utvärdera slutliga linjeitegralen. \\ \Rightarrow y =\hspace{0.17em}\sqrt{1-t^2} \Rightarrow z = \sqrt{1-t^2} \end{gathered}$$

Vår vektor funktion blir

 $$\begin{gathered} \stackrel{\rightharpoonup }{r}\left(t\right) = t\widehat{i } + \sqrt{1-t^2}\hat{j} + \sqrt{1-t^2}\hat{k} \\ Dess derivata är \\ \stackrel{\rightharpoonup }{r}\text{'}\left(t\right) = \hat{i} -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\hat{j} -\frac{t}{\sqrt{1-t^2}}\hat{k} \end{gathered}$$

Vi omskriver det givna vektorfältet med t som oberoende variabel:

$F\left(x\right(t), y(t), z(t\left)\right) = (\sqrt{1-t^2}\times \sqrt{1-t^2)}\widehat{)i} +(t\sqrt{1-t^2)})\hat{j} +(t\sqrt{1-t^2)})\hat{k}$

Linjeintegralen blir således:

${\int }_c F ·dr = {\int }_{t = 0}^{t\hspace{0.17em}= 1}F\left(x\right(t), y(t), z(t\left)\right) ·\stackrel{\rightharpoonup }{r}\text{'}\left(t\right) dt = {\int }_0^1(1-3t^2) dt = -\frac{1}{2}$

Enligt facit skall integralen bli ${\int }_{c}F ·dr = 0$. Var någonstans har jag tänkt fel?

Tack så mycket! :)