Beräkna massan

Någon annan typ av koordinatsystem, kanske?

Precis, gör ett koordinatbyte. Om du tittar på gränserna, ser du någonting speciellt då?

med gränserna ser jag att $z\ge 0så\sqrt{4-x^2-y^2}\ge 0vilketger2-x-y\ge 0eller2\ge x+y$

då $x\ge y$ och vi vet att $y\ge 0såärävenx\ge 0$

Integrera i z-led först. Sen kan du införa polära koordinater i xy-planet.

Hej!

Med tanke på hur kroppen ser ut och hur densiteten ser ut verkar det lämpligt att byta till cylindriska koordinater $(\rho,\theta,z)$ där $x=\rho\cos\theta$ och $y=\rho\sin\theta$. Villkoret $y\geq 0$ motsvaras av $\theta \in[0,\pi)$ och villkoret $y\leq x$ motsvaras av $\tan\theta \leq 1$. Tillsammans motsvaras de två villkoren av $\theta\in[0,\pi/4]$. Differentialvolymelementet $dxdydz$ transformeras till $\rho d\rho d\theta dz$ vilket ger massan

    $\displaystyle m = \iint_{K'} p(\rho,\theta,z)\rho d\rho d\theta dz = \int_{z=0}^{\sqrt{4-\rho^2}} \int_{\rho=0}^2 \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{4}}\rho^3d\rho d\theta dz = \left(\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\right)\left\{\int_{\rho=0}^2\left(\int_{z=0}^{\sqrt{4-\rho^2}}dz\right)\rho^3d\rho\right\}\ .$

Albiki

Jag följer inte riktigt med där.

Byte till cylindriska koordinater ger

x=$p\cos \theta$

y= $p\sin \theta$

Det förstår jag samt att $\sqrt{4-x^2-y^2}=\sqrt{4-p^2}$ vilket ger ${\int }_{z=0}^{\sqrt{4-p^2}}$

Men jag är osäker på de andra två integralerna

Jag föreslår att du ritar upp området du ska integrera över. Då kommer det bli tydligare.

Du måste även skilja på $\rho$ och $p$, nu har du använda $p$ i både koordinatvalet och densiteten.

Jag har fastnat här, jag är inte säker på hur jag ska komma vidare.

Jag har försökt att följa instruktionerna i kapitler om massa men jag är ganska vilsen i hur de kommer fram till $\frac{16\pi }{15}$

Har du följt emmynoethers råd och ritat upp området du skall integrera över?

nej jag har svårt att få till det.

$$\begin{gathered} z^2+y^2+x^2=4 \\ En sfär med radien 2 \end{gathered}$$

Det är viktigt att förstå hur kroppen du ska beräkna ser ut. Det kan hjälpa dig att börja med ett plan, t.ex XY-planet.

Villkoret y≥0,y≤x är ett triangulärt område som begränsas av en rät linje som bildar vinkeln $\frac{\pi}{4}$ med x-axeln.

z≥0 och $4=x^2+y^2+z^2$ är ett halvklot över xy-planet.

Försök visualisera halvklotet och skär sedan ut en tårtbit $\varphi=0\degree\; till\;\varphi=45\degree$ mot x-axeln i nedanstående bild:

Vårt område K begränsas alltså av $0\leqslant r\leqslant 2,0\leqslant \theta\leqslant\pi/2,0\leqslant\varphi\leqslant\pi/4$

Nu återstår att uttrycka $\rho$ i sfäriska koordinater samt  beräkna integralen.

[spoiler]

Med $\rho(r,\theta,\varphi)=r^2-r^2cos^2(\theta)=r^2sin^2(\theta)$ får vi integralen

$\iiint\limits_{K}\rho dV=\iiint\limits_{K}r^2sin^2(\theta) r^2sin(\theta)drd\theta dr\varphi=\frac{2^5}{5}\frac{\pi}{4}\int_{0}^{\pi/2}sin^3(\theta)d\theta$ [/spoiler]

Jag är inte riktigt med där. Hur får du fram $\frac{2^5}{5}\frac{\pi }{4}$

Du kan skriva om trippelintegralen till en produkt av tre enkelintegraler, som var och en bara beror på en av de tre variablerna. Hur blir det då? Sedan är två av integralerna jättelätta och ger den första (integralen över r) respektive den andra faktiorn i uttrycket efter sista likhetstecknet i Guggles inlägg.

Okej, jag är inte riktigt med på hur man ska få till det tyvärr, jag förstår att det ska bli tre enkelintegraler uppdelade på de tre olika variablerna.

Försök göra det som Guggle beskriver några inlägg högre upp, och skriv det här. Det står vad $\rho$ är uttryckt i sfäriska koordinater, det står vad dV är uttryckt i sfäriska koordinater, det är bara att montera ihop det, men det får du allt försöka göra själv! kör du fast, kommer du att få hjälp, men du måste göra jobbet själv.

ja jag ser ju att

$$\begin{gathered} \rho =r^2{\sin }^2\left(\theta \right) \\ \rho dv=\frac{2^5}{5}\frac{\pi }{4}{\int }_0^{\pi /3}{\sin }^3\left(\theta \right)d\theta \end{gathered}$$

men $\rho$ är ju redan i uttrycket då

Har du koll på vad Guggle gör i vardera steget? Målet är att integrera densitets-funktionen över hela volymen, med sfäriska koordinater. Man skriver om funktionen från kartesiska koordinater till en trippelintegral i sfäriska integraler. Denna trippelintegral kan skrivas om till en produkt av tre enkelintegraler som beror på en variabel vardera. Det som är lite lurigt är att fi-funktionen bara är en osynlig etta. Efter sista likhetstecknet är två av integralerna uträknade, och det är bara det värsta kvar.