Beräkna min och max ... Hur många min och max måste jag rippa?!?

Ok.

Den första grej när man ser en sånt fråga är att lugna ner sig och söka febrilt efter tråden där Guggle, AlvinB o Yngve svarade på en exakt likande fråga. Repeterar mantran. ''Det är lätt. Det är lätt''. We shall overcome rita området och undersöka punkterna som kan vara kandidater till minimum eller maximum.

Området är en gullig och ärlig cirkeln med radie 4. Eftersom den går att derivera överallt bryter vi inte vår små huvud på att fundera på det.

1. Så den första steg är att undersöka randen, och för detta måste vi parametrisera saken.

$f(x,y)= x^2+y^2-4x-4y+13$ blir nu: $f(r,\theta )= r^2-4·4\cos \theta -4·4\sin \theta +13$ som skrivas om som :

$f(r,\theta )= r^2-16\sqrt{2}\left(\sin \left(\theta +\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\right)+13$

Vi deriverar den och den blir 

$f(r,\theta )= -16\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)$, som blir noll för $\frac{\pi }{4}, \frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 4}}$.

Eller varför bryr vi oss överhuvudtaget säger en demonisk röst i huvudet? Det antar ju sin maxvärde när cosine är lika med ett, och minivärde när cosine är lika med minus ett?

Vi sätter dessa värden i $f(x,y)$:

$$\begin{gathered} f(4,\frac{\mathrm{\pi }}{4})= 4^2-16\sqrt{2}·\sin \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)+13=29-16\sqrt{2} \\ f(4,\frac{5\mathrm{\pi }}{4})= r^2-16\sqrt{2}\left(\sin \left(\theta +\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)\right)+13 pss =29+16\sqrt{2} \end{gathered}$$

Jag vet från min sjuvundersökning av faciten starksjälvförstroende att $29 +\sqrt{29}$ är max värde.

2. Nu ska vi undersöka $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{{\displaystyle \partial f}}{{\displaystyle \partial y}}$ när dem båda är noll.

$$\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x}= 2x-4 \iff x\pm \sqrt{2} \\ \frac{{\displaystyle \partial f}}{{\displaystyle \partial y}},= 2y-4, y\pm \sqrt{2} \end{gathered}$$

Och man ser dessutom att $x=y$, det kallas för magin av symmetri.

Nu måste vi sätta alla möjliga varianter i $f(x,y)$.

$$\begin{gathered} f(\sqrt{2},\sqrt{2})= {\sqrt{2}}^2+{\sqrt{2}}^2-4\sqrt{2}-4\sqrt{2}+13=17 -8\sqrt{2} \\ f(-\sqrt{2},-\sqrt{2})= {\left(-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}+13=17 +8\sqrt{2} \\ f(-\sqrt{2},\sqrt{2})= {\left(-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+4\sqrt{2}-4\sqrt{2}+13=17 \end{gathered}$$

Av symmetriskäl tar jag inte $x\sqrt2,\;\;y=-\sqrt2$.

Mitt bästa but till minimiplatse: $17 -8\sqrt{2}$.

Facit:

Hur hittar man 5 som min?