asiwol 42
Postad: 22 feb 2019

beräkna när plantorna är hälften.

Detta är uppgiften:

Jag har ställt upp en formel för växterna:

30 000+1000(n-1)-(30 000+1000(n-1))*0,1

sedan sätter jag den formeln lika med 15000 som är hälften och bryter ut n, men det blir fel... vad ska jag göra?

Hur har du fått fram just det uttrycket?

Jag skulle börja med att göra en tabell där jag fyller i hur många växter det finns år 0, år 1, år 2, år 3 och så vidare. Så småningom borde jag se hur många växter det finns efter x år. När jag har fått fram detta uttryck, sätter jag det lika med 15 000 och beräknar x.

Laguna 5676
Postad: 22 feb 2019

Jag vet inte om det är meningen att ni ska kunna få fram ett slutet uttryck för antalet växter ett visst år n, men det går att göra med en ganska enkel ansats.

Albiki 4226
Postad: 22 feb 2019 Redigerad: 22 feb 2019

Hej!

Antalet kryddväxter som finns på trädgårdsmästeriet förändras över tid.

År 0: 3000030000 stycken växter.

År 1: 0.90·30000+1000=280000.90\cdot 30000 + 1000 = 28000 stycken växter.

År 2: 0.90·28000+1000=262000.90\cdot 28000 + 1000 = 26200 stycken växter.

År 3: 0.90·26200+1000=245800.90 \cdot 26200 + 1000 = 24580 stycken växter.

År 4: ...

Gustav 5
Postad: 23 feb 2019

Bra ansats för att lösa uppgiften! Alltid bra att försöka analysera, mest övergripande, hur det förändras.

Det som krävs för att lösa uppgiften är något man inte lär sig i ma5. För att lösa den behöver man nämligen känna till differensekvationer, något som kommer först vid högskole- eller universitetsstudier. Jag tror att de som konstruerat uppgiften tänkt lite fel - om den nu är tänkt för ma5? Man kan inte lösa den med en differentialekvation, vad som däremot tas upp i ma5.

Du kan få fram följande uttryck med hjälp av en differensekvation:

20 000 × 0.9n + 10 000

Om  du vill, kan du pyssla lite med uttrycket och logiskt motivera varför det är ett rimligt uttryck med hjälp av gränsvärden, ev. max-, minivärden etc. Men eftersom uppgiften inte går att lösa med de verktyg som ma5 ger, går det nog inte riktigt att kräva mer än det.

Jag skulle säga att det räcker med Ma1 för att lösa uppgiften, om man börjar som Albiki gjorde och fortsätter tabellen tillräckligt långt, alternativt att man prövar sig fram.

Dessuton är inte 20000·0,9n+1000020000\cdot0,9^n+10000 en ekvation av något slag, eftersom det inte innehåller något likhetstecken.

Gustav 5
Postad: 1 mar 2019
Smaragdalena skrev:

Jag skulle säga att det räcker med Ma1 för att lösa uppgiften, om man börjar som Albiki gjorde och fortsätter tabellen tillräckligt långt, alternativt att man prövar sig fram.

Dessuton är inte 20000·0,9n+1000020000\cdot0,9^n+10000 en ekvation av något slag, eftersom det inte innehåller något likhetstecken.

Ursäkta sen återkoppling men jag vill ge ett slutgiltigt, korrekt svar så ingen förvirring uppstår.

Visst kan man lösa den på det vis du presenterar men det ger ingen större förståelse för varken problemet eller matematik i stort. Att "pröva sig fram" ända till dess att rätt svar ges skulle förvisso ge rätt svar men skulle kullkasta det som faktiskt ger något i matematik, för att inte nämna vad det skulle göra med det falnande intresset för matematik.

Nästa sak stämmer - det är ingen ekvation, inte något som påståtts heller. Det är däremot ett uttryck som ges av lösning med differensekvation.

Hoppas ändå uppgiften finnes av intresse.

Albiki 4226
Postad: 1 mar 2019 Redigerad: 1 mar 2019
Albiki skrev:

Hej!

Antalet kryddväxter som finns på trädgårdsmästeriet förändras över tid.

År 0: 3000030000 stycken växter.

År 1: 0.90·30000+1000=280000.90\cdot 30000 + 1000 = 28000 stycken växter.

År 2: 0.90·28000+1000=262000.90\cdot 28000 + 1000 = 26200 stycken växter.

År 3: 0.90·26200+1000=245800.90 \cdot 26200 + 1000 = 24580 stycken växter.

År 4: ...

Beräkningarna visar på ett mönster: Om det finns v(n)v(n) stycken växter år nn så finns det såhär många växter nästa år:

    v(n+1)=0.90·v(n)+1000v(n+1) = 0.90 \cdot v(n) + 1000 där n1n \geq 1

Om man går ett år tillbaka i tiden kan man skriva 

    v(n+1)=0.90·{0.90·v(n-1)+1000}+1000v(n+1) = 0.90 \cdot \{0.90\cdot v(n-1)+1000\} + 1000

och detta kan förenklas till 

    v(n+1)=0.902·v(n-1)+1000·(1+0.90).v(n+1) = 0.90^2 \cdot v(n-1) + 1000 \cdot (1+0.90).

Går man ytterligare ett år tillbaka i tiden till tidpunkten n-2n-2 kan man skriva 

    v(n+1)=0.902·{0.90v(n-2)+1000}+1000·(1+0.90)v(n+1) = 0.90^2 \cdot \{0.90 v(n-2) + 1000\} + 1000\cdot(1+0.90)

som kan förenklas till 

    v(n+1)=0.903·v(n-2)+1000·(1+0.90+0.902).v(n+1) = 0.90^3 \cdot v(n-2) + 1000\cdot (1+0.90+0.90^2). 

Nu kan man se ett tydligt mönster som visar hur v(n+1)v(n+1) hänger ihop med v(1)v(1) och med tidpunkten n+1n+1:

Visa spoilerv(n+1)=0.90n·v(1)+1000·(1+0.90+0.902++0.90n-1).\displaystyle v(n+1) = 0.90^{n}\cdot v(1)+1000\cdot(1+0.90+0.90^2+\cdots+0.90^{n-1}).
Albiki 4226
Postad: 1 mar 2019 Redigerad: 1 mar 2019

Problemet som ska lösas är att finna den tidpunkt nn när v(n)=0.5·v(0)v(n) = 0.5\cdot v(0), vilket betyder att man ska lösa ekvationen

Visa spoiler15000=0.90n-1·28000+1000·(1+0.90+0.902++0.90n-2).15000 = 0.90^{n-1} \cdot 28000 +1000\cdot(1+0.90+0.90^2+\cdots+0.90^{n-2}).
Svara Avbryt
Close