Beräkna rotationskroppens volym

lamayo skrev:

Området som begränsas av y-axeln, x-axeln och kurvan y = 4 - x^2 roterar runt y-axeln.
Beräkna rotationskroppens volym med
a)skivmetoden
b) skalmetoden

Jag har tänkt följande på a)

Jättebra att du tydligt redovisar hur du resonerar.

Jag saknar dock att du i bilden ritar in hur rotationskroppen ser ut.

---------------------

Nu börjar vi komma närmare en förståelse varför du inte riktigt har greppat detta med rotationsvolymer ännu.

Du läser inte uppgiften ordentligt alternativt har du svårt att föreställa dig hur rotationen ser ut.

I denna uppgift står det klart och tydligt att rotationen sker runt y-axeln men du har resonerat och räknat som att rotationen sker runt x-axeln.

Lösningsförslag:

Yngve skrev:

Lösningsförslag:

 (sorry för lite kladdigt) men nu förstår jag hur du tänker tror jag. Något jag inte är helt med på är hur man kan vara säker på att det blor radien om man skriver om y=4-x^2 uttryckt i y? förstår att man kan det eftersom man då får ut x^2 då det beskriver radien men inte helt övertygad

lamayo skrev:

Yngve skrev:

Lösningsförslag:

 (sorry för lite kladdigt) men nu förstår jag hur du tänker tror jag. Något jag inte är helt med på är hur man kan vara säker på att det blor radien om man skriver om y=4-x^2 uttryckt i y? förstår att man kan det eftersom man då får ut x^2 då det beskriver radien men inte helt övertygad

Ja nu blev det rätt.

I denna uppgift så ligger skivorna horisontellt, är du med på det?

Därför är en skivas radie lika med $x$, är du med på det?

För alla punkter på parabeln så gäller sambandet $y=4-x^2$, är du med på det?

Detta samband är identiskt med sambandet $x^2=4-y$, är du med på det?

Detta samband är identiskt med sambandet $x=\pm \sqrt{4-y}$, är du med på det?

Eftersom en skivas radie är lika med $x$ så är skivans area lika med $A=\pi x^2$, är du med på det?

Eftersom nu $x=\pm \sqrt{4-y}$ så gäller alltså att en skivas area $A=\pi (\pm \sqrt{4-y})^2=\pi (4-y)$, är du med på det?

----- 

Det var bara det att eftersom jag var ute efter att uttrycka $x^2$ med hjälp av $y$ så hoppade jag över delen med $x=\pm \sqrt{4-y}$

Yngve skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

Lösningsförslag:

 (sorry för lite kladdigt) men nu förstår jag hur du tänker tror jag. Något jag inte är helt med på är hur man kan vara säker på att det blor radien om man skriver om y=4-x^2 uttryckt i y? förstår att man kan det eftersom man då får ut x^2 då det beskriver radien men inte helt övertygad

Ja nu blev det rätt.

I denna uppgift så ligger skivorna horisontellt, är du med på det?

Därför är en skivas radie lika med $x$, är du med på det?

För alla punkter på parabeln så gäller sambandet $y=4-x^2$, är du med på det?

Detta samband är identiskt med sambandet $x^2=4-y$, är du med på det?

Detta samband är identiskt med sambandet $x=\pm \sqrt{4-y}$, är du med på det?

Eftersom en skivas radie är lika med $x$ så är skivans area lika med $A=\pi x^2$, är du med på det?

Eftersom nu $x=\pm \sqrt{4-y}$ så gäller alltså att en skivas area $A=\pi (\pm \sqrt{4-y})^2=\pi (4-y)$, är du med på det?

----- 

Det var bara det att eftersom jag var ute efter att uttrycka $x^2$ med hjälp av $y$ så hoppade jag över delen med $x=\pm \sqrt{4-y}$

 Ja nu känns det rimligt att x^2=4-y. Tack!

lamayo skrev:

 Ja nu känns det rimligt att x^2=4-y. Tack!

 OK bra. Kan du även visa hur du tänker kring och löser b-uppgiften?

• Visa med en skiss och ord hur dina skal ser ut, vad de har för radie, area, volym.
• Vilken integrationsriktning ska du använda?
• Vilka integrationsgränser får du?
• Hur ser integralen ut och vad blir dess värde?

Yngve skrev:

lamayo skrev:

 Ja nu känns det rimligt att x^2=4-y. Tack!

 OK bra. Kan du även visa hur du tänker kring och löser b-uppgiften?

• Visa med en skiss och ord hur dina skal ser ut, vad de har för radie, area, volym.
• Vilken integrationsriktning ska du använda?
• Vilka integrationsgränser får du?
• Hur ser integralen ut och vad blir dess värde?

 Jag får inte ihop det. 

lamayo skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

lamayo skrev:

 Ja nu känns det rimligt att x^2=4-y. Tack!

 OK bra. Kan du även visa hur du tänker kring och löser b-uppgiften?

• Visa med en skiss och ord hur dina skal ser ut, vad de har för radie, area, volym.
• Vilken integrationsriktning ska du använda?
• Vilka integrationsgränser får du?
• Hur ser integralen ut och vad blir dess värde?

 Jag får inte ihop det. 

Till att börja med: En grundläggande skillnad mellan skivmetoden och skalmetoden för att volymbestämma rotationskroppar är:

Skivmetoden: Rotationskroppen delas in i  cirkulära skivor som är vinkelräta mot rotationsaxeln. Skivorna radie är $r$ och deras area är $\pi r^2$. Integrationsriktningen är längs med rotationsaxeln.

Skalmetoden: Rotationskroppen delas in i cirkulära cylindriska skal som är vinkelräta mot rotationsaxeln. Skalens radie är $r$, deras höjd är $h$ och deras area är $2\pi rh$. Integrationsriktningen är i radiell led, dvs vinkelrätt mot rotationsaxeln.

Jag rekommenderar att du tittar på fler youtubeklipp som.beskriver hur dessa metoder används. Fråga här om det är något som är oklart.

------------

Nu till din uppgift:

Börja med att rita ut hela rotationskroppen, även den del som ligger till vänster om y-axeln.

Punkt 1. När du använder skalmetoden i denna uppgift så ska du dela in rotationskroppen i vertikala cylindriska skal runt y-axeln. Alla skal "står" på x-axeln. Det är alltså inte skivor utan skal.

Punkt 2. Varje cylinderskal har alltså y-axeln som centrum, en radie som är x och en höjd som är y. Deras area är då $2\pi rh=2\pi xy$

Gör om med den början istället.

Yngve skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

lamayo skrev:

 Ja nu känns det rimligt att x^2=4-y. Tack!

 OK bra. Kan du även visa hur du tänker kring och löser b-uppgiften?

• Visa med en skiss och ord hur dina skal ser ut, vad de har för radie, area, volym.
• Vilken integrationsriktning ska du använda?
• Vilka integrationsgränser får du?
• Hur ser integralen ut och vad blir dess värde?

 Jag får inte ihop det. 

Till att börja med: En grundläggande skillnad mellan skivmetoden och skalmetoden för att volymbestämma rotationskroppar är:

Skivmetoden: Rotationskroppen delas in i  cirkulära skivor som är vinkelräta mot rotationsaxeln. Skivorna radie är $r$ och deras area är $\pi r^2$. Integrationsriktningen är längs med rotationsaxeln.

Skalmetoden: Rotationskroppen delas in i cirkulära cylindriska skal som är vinkelräta mot rotationsaxeln. Skalens radie är $r$, deras höjd är $h$ och deras area är $2\pi rh$. Integrationsriktningen är i radiell led, dvs vinkelrätt mot rotationsaxeln.

Jag rekommenderar att du tittar på fler youtubeklipp som.beskriver hur dessa metoder används. Fråga här om det är något som är oklart.

------------

Nu till din uppgift:

Börja med att rita ut hela rotationskroppen, även den del som ligger till vänster om y-axeln.

Punkt 1. När du använder skalmetoden i denna uppgift så ska du dela in rotationskroppen i vertikala cylindriska skal runt y-axeln. Alla skal "står" på x-axeln. Det är alltså inte skivor utan skal.

Punkt 2. Varje cylinderskal har alltså y-axeln som centrum, en radie som är x och en höjd som är y. Deras area är då $2\pi rh=2\pi xy$

Gör om med den början istället.

 jag är inte med på hur radien kan vara x pch hur höjden är y samt hur srean är 2pirh

lamayo skrev:

 jag är inte med på hur radien kan vara x pch hur höjden är y samt hur srean är 2pirh

 Så här: 

Yngve skrev:

lamayo skrev:

 jag är inte med på hur radien kan vara x pch hur höjden är y samt hur srean är 2pirh

 Så här: S

 Blir Arean då=2pi*y^2*2y? eftersom y^2 motsvarar r och h motsvarar 2y då den är dubbelt så lång som r?

lamayo skrev:

 Blir Arean då=2pi*y^2*2y? eftersom y^2 motsvarar r och h motsvarar 2y då den är dubbelt så lång som r?

Nej det stämmer inte alls.

I figuren ser du att ett cylindriskt skal med radie $r$ ligger på avståndet $x$ från y-axeln. Alltså har du att $r=x$ och därmed är cylinderns omkrets $O=2\pi r=2\pi x$.

Cylinderns höjd $h=y$ och eftersom sambandet $y=4-x^2$ gäller så har du att höjden $h=4-x^2$.

Cylinderns area är alltså $A=2\pi rh=2\pi x(4-x^2)$

Yngve skrev:

lamayo skrev:

 Blir Arean då=2pi*y^2*2y? eftersom y^2 motsvarar r och h motsvarar 2y då den är dubbelt så lång som r?

Nej det stämmer inte alls.

I figuren ser du att ett cylindriskt skal med radie $r$ ligger på avståndet $x$ från y-axeln. Alltså har du att $r=x$ och därmed är cylinderns omkrets $O=2\pi r=2\pi x$.

Cylinderns höjd $h=y$ och eftersom sambandet $y=4-x^2$ gäller så har du att höjden $h=4-x^2$.

Cylinderns area är alltså $A=2\pi rh=2\pi x(4-x^2)$

 aha nu förstår jag hur det blir 2pix(4-x^2)! Volymen blir då 2pix(4-x^2)dx?

lamayo skrev: 

 aha nu förstår jag hur det blir 2pix(4-x^2)! Volymen blir då 2pix(4-x^2)dx?

Ja. Det cylindriska skalets (och därmed den utplattade rektangelns) tjocklek är $dx$.

Därför har det cylindriska skalet volymen $2\pi x(4-x^2) dx$.

Då är det dags att integrera fram den totala rotationsvolymen.

Ser du vilka integrationsgränser du ska ha, dvs vilket värde på x som motsvarar den minsta radien och vilket värde på x som motsvarar den största radien?

Du kommer att se att denna integral blir lite enklare att beräkna än den förra (när du använde skivmetoden).

Yngve skrev:

lamayo skrev: 

 aha nu förstår jag hur det blir 2pix(4-x^2)! Volymen blir då 2pix(4-x^2)dx?

Ja. Det cylindriska skalets (och därmed den utplattade rektangelns) tjocklek är $dx$.

Därför har det cylindriska skalet volymen $2\pi x(4-x^2) dx$.

Då är det dags att integrera fram den totala rotationsvolymen.

Ser du vilka integrationsgränser du ska ha, dvs vilket värde på x som motsvarar den minsta radien och vilket värde på x som motsvarar den största radien?

Du kommer att se att denna integral blir lite enklare att beräkna än den förra (när du använde skivmetoden).

 0 till 2? eller hur menar du med den som har största respektive minsta radien?

lamayo skrev:

 0 till 2? eller hur menar du med den som har största respektive minsta radien?

Ja det var så jag menade.

Det "smalaste" cylindriska skalet är ju y-axeln. Den har radie 0 och höjd 4.

Sedan följer de övriga cylindriska skalen med ökande radie (= ökande avstånd från y-axeln = ökande värde på x) och minskande höjd (enligt $y=4-x^2$) till det yttersta skalet som har radie 2. Detta skal har höjden 0.

lamayo skrev:

Snyggt!

Nu har du tagit dig igenom både skivmetoden och skalmetoden för att volymbestämma en enkel rotationskropp.

Jag hoppas att det var en del pusselbitar som föll på plats nu. Fortsätt att träna på detta för att verkligen nöta in grunderna.

Använd då gärna den checklista jag gav dig tidigare.

Yngve skrev:

lamayo skrev:

Snyggt!

Nu har du tagit dig igenom både skivmetoden och skalmetoden för att volymbestämma en enkel rotationskropp.

Jag hoppas att det var en del pusselbitar som föll på plats nu. Fortsätt att träna på detta för att verkligen nöta in grunderna.

Använd då gärna den checklista jag gav dig tidigare.

 Det ska jag göra! Verkligen Tack för all hjälp.