Beräkna rotationsvolymen.
Hej, har en snabb fråga angående denna uppgift:
Hoppas någon förstår då jag enbart undrar varför radien för en cylinder vid rotation ges av r = 5 - (x^2 - 4) = 9 -x^2 och inte: r = 5 + (x^2 - 4) = 1 + x^2. Radien kommer väl bli avståndet från linjen y = 5 till x -axeln + det lilla avståndet i y led som ges av funktionsvärdet (= x^2 -4)
Har du ritat linjen och parabeln i ett koordinatsystem och markerat avståndet mellan dessa?
- Om ja, visa din bild.
- Om nej, gör det och visa din bild.
Meningen är att den blå skivan ska gå hela vägen ner. Skriv gärna om det är några oklarheter i min skiss.
Nej den funkar.
Vad får du avståndet till om x = 0?
Problemet är alltså att x2-4 är negativt då |x| < 2.
Från x = 0 till x = 5 är avstånd 5 l.e. Men den lilla biten under x = 0 är ju också en längd. Ska inte hänsyn tas till den också?
Jo, men varför tror du att avståndet mellan parabeln och x-axeln är x2-4 i området -2 < x < 2?
Jag vet inte riktigt. Sträckan är ju positiv. Å andra sidan befinner den sig under x -axeln?
Ja, ett avstånd (dvs längden av en sträcka) ör alltid positivt.
Men uttrycket är inte positivt överallt i det aktuella intervallet .
Exempelvis så är då .
Enligt ditt sätt att räkna så blir radien där lika med 1.
Men i din bild så ser du tydligt att radien där är lika med 9.
Problemet är alltså att du räknar som om vore positivt överallt.
Kan man då dra slutsatsen att då en funktion roterar kring en linje som befinner sig över x - axeln samtidigt som själv funktionen befinner sig under x -axeln skall man alltid subtrahera avståndet från x -axeln med funktionen?
Nej, det är farligt att försöka hitta generella regler.
Det bästa är att rita en bild, rita in den sträcka man försöker hitta ett uttryck för, ta fram ett uttryck för det och, sist men inte minst, kontrollera att uttrycket verkar stämma.
Om du hade gjort det sistnämnda (t.ex. genom att kontrollera ditt uttrycks värde för x = -3, x = 0, x = 1 och x = 2) så hade du troligtvis kunnat undvika feltänket.
Tack för hjälpen!
