Wscub är nöjd med hjälpen
Wscub 14
Postad: 24 maj 2023 19:26 Redigerad: 24 maj 2023 19:28

Beräkna rotationsvolymen av en funktion

Hej!

Frågan lyder:

"Området mellan funktionen f(x) = 4-x2 och linjen y=3 får rotera kring x-axeln. Beräkna rotationskroppens volym." Se bild nedan för hur området ser ut.

Hur jag än vrider och vänder på det får jag aldrig rätt svar. Har testat att bland annat beräkna rotationskroppen för hela och subtrahera med det omarkerade området. Men det blir inte korrekt. Rätt svar ska vara 376π15.

Ture 10032 – Livehjälpare
Postad: 24 maj 2023 19:37

Jag tolkar uppgiften som att det omarkerde områdets rotationsare ska beräknas, inte det gula!

Wscub 14
Postad: 24 maj 2023 19:41 Redigerad: 24 maj 2023 19:41

Bilden som är med i tråden är samma bild som visas i uppgiften. Hade bara problem att få över bilden till datorn. 

 

Då vill uppgiften att man ska beräkna rotationsviolymen av det markerade området. Vilket jag inte får till!

Ture 10032 – Livehjälpare
Postad: 24 maj 2023 20:09

ok, 

då skulle jag välja skalmetoden och integrera i y-led från 0 till 3

Hur har du gjort, visa!

Wscub 14
Postad: 24 maj 2023 22:55

Mina beräkningar för det jag provade tidigare:

π-22(4-x2)2 dx - π-11(1-x2)2dx = 496π15

Jag tänkte då att jag tar rotationsvolymen av hela kurvan och tar det minus en rotationsvolym som motsvarar det område som plockas bort från kurvan.

Jag tolkar det du säger att jag ska först integrera i y-led och sedan ta rotationen i x-led? Om sådant är fallet, hur går man till väga då? För kroppen ska rotera i x-led enligt uppgiften.

Yngve 38591 – Livehjälpare
Postad: 25 maj 2023 06:35 Redigerad: 25 maj 2023 06:41
Wscub skrev:

Mina beräkningar för det jag provade tidigare:

π-22(4-x2)2 dx - π-11(1-x2)2dx = 496π15

Jag tänkte då att jag tar rotationsvolymen av hela kurvan och tar det minus en rotationsvolym som motsvarar det område som plockas bort från kurvan.

Problemet med din uträkning är att det du subtraherar inte är det som du vill subtrahera.

Se bild. Du vill subtrahera volymen som skapas av område A men du subtraherar volymen som skapas av område B.

Ture 10032 – Livehjälpare
Postad: 25 maj 2023 06:44

 Förstår du Yngves förklaring varför det blev fel med din metod?

här är en lösningside baserat på din lösning

Dela upp integralen på tre olika och summera. Av symmetriskäl kan man göra vissa förenklingar!

Den lösningside jag skissade på i mitt första inlägg kan vi ta när du fått det här rätt.

Wscub 14
Postad: 25 maj 2023 23:40
Yngve skrev:
Wscub skrev:

Mina beräkningar för det jag provade tidigare:

π-22(4-x2)2 dx - π-11(1-x2)2dx = 496π15

Jag tänkte då att jag tar rotationsvolymen av hela kurvan och tar det minus en rotationsvolym som motsvarar det område som plockas bort från kurvan.

Problemet med din uträkning är att det du subtraherar inte är det som du vill subtrahera.

Se bild. Du vill subtrahera volymen som skapas av område A men du subtraherar volymen som skapas av område B.

Problemet jag har är att jag inte förstår hur jag ska ställa upp en integral som beskriver volymen för A i figuren. Men borde inte den vara lika stor som volymen för figur B?

Wscub 14
Postad: 25 maj 2023 23:53

 

Nevermind på den fronten. Tror jag fick till en integral som beskriver det gulmarkerade området i min ursprunliga figur. Och för att tilläga fick jag till det nu. Tack så mycket för all hjälp. Stort tack. Tänker ändå att jag kan ta och förklara hur jag gick till väga för att få fram rätt svar om någon läser tråden i framtiden.

Rotationsvolymen av hela subtraherat från volymen mellan (4-x2) och y = 3.

π-22(4-x2)2dx - (π-11(4-x2)2 - 32 dx) = π(51215) - π(13615) = 376π15

Tack igen för hjälpen! Korrigera gärna om något jag skrev var konstigt :)

Ture 10032 – Livehjälpare
Postad: 26 maj 2023 09:39 Redigerad: 26 maj 2023 09:47

Bra att du löste det.

Ett alternativt sätt att lösa uppgiften:

Notera först att området som roterar är symmetriskt runt x = 0

Vi kan därför nöja oss med att beräkna från 0 till 2 och sen dubblera volymen för att få hela.

JAg delar upp funktionen i två delar

från 0 till 1 har vi y = 3

från 1 till 2 har vi funktionen y = 4-x2

Hela volymen blir därför

2π*(01 32 dx +12(4-x2)2dx  ) = 2π(9 + 5315 ) = 376π15

Yngve 38591 – Livehjälpare
Postad: 26 maj 2023 09:51 Redigerad: 26 maj 2023 09:53

Snyggt!

Ytterligare "förenkling": Den del av rotationskroppen som går från x = 0 till x = 1 är en liggande cirkulär cylinder med radie r = 3 och höjd h = 1.

Dess volym är därför Vcyl=πr2h=9πV_{cyl}=\pi r^2h=9\pi.

(Vi sparar en integralberäkning)

Ture 10032 – Livehjälpare
Postad: 26 maj 2023 10:05

Ett annat sätt som jag var inne på i inägg #2 är att integrera i y-led med skalmetoden.

om y = 4-x2 så är 

x=4-y

tänk dig att vi gör skal i form av ringar med radien  = y och bredden = 2x

 En sån ring får volymen 2πy2xdy

hela kroppens volym blir då

032πy2xdy

sätt sen in uttrycket för x som vi har tagit fram så får vi

032πy24-ydy =376π15

Svara Avbryt
Close