Beräkna rotationsvolymen runt x-axeln

Har du provat att rita upp området? Det kan nog hjälpa dig att bestämma det rätta uttrycket för radien och integralen.

Lasse Vegas skrev:

Har du provat att rita upp området? Det kan nog hjälpa dig att bestämma det rätta uttrycket för radien och integralen.

Har nu ritat den, vad ska jag göra nu? 

Linjen x=0.5 saknas.

Trinity2 skrev:

Linjen x=0.5 saknas.

Det är den som går rakt upp

Koizenu skrev:

[...]

Tänkte att jag skulle beräkna detta $\mathrm{\pi }{\int }_{0.5}^2\frac{1}{x}\mathrm{dx}$. 

Problemet att du inte tar hänsyn till att linjen y = 0,5 avgränsar området.

Du beräknar alltså volymen av den kropp som bildas då det blåmarkerade området roterar runt x-axeln:

när det istället borde vara detta område:

Det finns en enkel fix du kan ta till: Skillnaden mellan volymerna utgörs av en rak cirkulär cylinder, vars volym du kan beräkna utan integraler.

Koizenu skrev:

[...] förstår inte hur jag ska annars göra.

En annan (och krångligare) metod är att se kroppen som uppbyggd av cirkelskivor med hål i mitten.

Vi kallar varje skivas ytterradie $r_y$ och hålets radie $r_i$

Varje skiva har då arean $\pi {r_y}^2-\pi {r_i}^2=\pi ({r_y}^2-{r_i}^2)$

Eftersom $r_y=\frac{1}{x}$ och $r_i=0,5$ så är Varje skivas area $\pi (\frac{1}{x^2}-0,25)$

Varje skiva har tjockleken $\operatorname dx$, och du kan integrera skivornas bidrag till volymen från $x=0,5$ till $x=2$.

Alltså nästan samma metod dom du började med, fast en annan integrand som tar hänsyn till hålet i mitten.

Intressant är att om du delar upp denna integral i två delar så motsvarar den andra integralen just ..., ja vad då?

Yngve skrev:

Koizenu skrev:

[...] förstår inte hur jag ska annars göra.

En annan (och krångligare) metod är att se kroppen som uppbyggd av cirkelskivor med hål i mitten.

Vi kallar varje skivas ytterradie $r_y$ och hålets radie $r_i$

Varje skiva har då arean $\pi {r_y}^2-\pi {r_i}^2=\pi ({r_y}^2-{r_i}^2)$

Eftersom $r_y=\frac{1}{x}$ och $r_i=0,5$ så är Varje skivas area $\pi (\frac{1}{x^2}-0,25)$

Varje skiva har tjockleken $\operatorname dx$, och du kan integrera skivornas bidrag till volymen från $x=0,5$ till $x=2$.

Alltså nästan samma metod dom du började med, fast en annan integrand som tar hänsyn till hålet i mitten.

Intressant är att om du delar upp denna integral i två delar så motsvarar den andra integralen just ..., ja vad då?

Tackk för hjälpen :)