Beräkna standardgränsvärde

beräkna $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x}$

så har jag gjort:

$t = e^{x} - 1, x = \ln (t + 1), o m x \to 0, t \to 0 . \frac{t}{\ln (t + 1)} = \frac{1}{\frac{\ln (t + 1)}{t}} \frac{\ln (1 + t)}{t} = \ln (1 + t)^{\frac{1}{t}} l = \frac{1}{t}, t = \frac{1}{l} . o m t \to 0, l \to \infty \ln (1 + \frac{1}{l})^{l} = \ln e = 1 \frac{1}{1} = 1$

jag undrar om man kan beräkna det på annat sätt, t.ex utan att använda definitionen av e

Man kan använda L'Hôpitals regel https://sv.wikipedia.org/wiki/L%27H%C3%B4pitals_regel

Eller om man betraktar serieutvecklingen av e^x som känd så kan man stoppa in den.

Hej!

Ett sätt att definiera exponentialfunktionen är som den deriverbara funktion $y(x)$ som löser differentialekvationen $y'(x)=y(x)$ sådan att $y(0)=1$ .

Derivatans definition ger då att ditt sökta standardgränsvärde är precis derivatan $y'(0)$ , som enligt differentialekvationen är lika med $y(0)=1$ .

ok tack för hjälpen.

Svara

Visa senaste svar