Beräkna summa

Välkommen till Pluggakuten!

Hur har du försökt själv? Meningen med Pluggakuten är att du skall få den hjälp du behöver för att kunna lsöa dina uppgifter själv, inte att någon annan skalll ge dig färdiga lösningar på dina problem.

Byt ut "25" i uppgiften mot 2, 3, 4, 5... och se om du hittar ett mönster.

Hej,

Visst är det bättre att få en "push" istället för färdiga lösningar. Jag försökte såhär:

$\sum _{p=1}^{25}p\left(p-1\right)\left(\begin{array}{c}25\\ P\end{array}\right)$$=$$\frac{25!p(p-1)}{p!(25-p)!}=\frac{25!}{(p-2)!(25-p)!}$ och sen kom jag ingenstans.

Jag försökte också att hitta de första termerna och fick.

$$\begin{gathered} S1=0 \\ S2=2\times \frac{25!}{2!23!}=25\times 24 \\ S3=3\times 2\times \frac{25!}{3!22!}=25\times 24\times 23 \\ S4=4\times 3\times \frac{25!}{4!21!}=\frac{25\times 24\times 23\times 22}{2}=25\times 24\times 23\times 11 \end{gathered}$$

Jag vet inte om jag skulle räkna ut termerna men jag ser inget riktigt mönster.

Om man har en sådan här jätteuppgift, kan det vara smart att undersöka enklare varianter. Man kan t ex titta på summor, där summationen går från 1 till 2, 3, 4 eller 5 i stället för 25. Får du fram något mönster då?

Jag tror man kan lösa det så här 

$\underset{}{\overset{}{\sum p(p-1)\left(\begin{array}{c}25\\ p\end{array}\right)}}=\underset{}{\overset{}{\sum (p^2-p)\left(\begin{array}{c}25\\ p\end{array}\right)}}=\underset{}{\overset{}{\sum p^2\left(\begin{array}{c}25\\ p\end{array}\right)-p\left(\begin{array}{c}25\\ p\end{array}\right)}}=\underset{}{\overset{}{\sum p^2\left(\begin{array}{c}25\\ p\end{array}\right)-\underset{}{\overset{}{\sum p}}\left(\begin{array}{c}25\\ p\end{array}\right)}}$   nu med identiteterna 

$\underset{p=0}{\overset{n}{\sum p^2\left(\begin{array}{c}n\\ p\end{array}\right)=2^{n-2}n(n+1)}}$      och $\underset{p=0}{\overset{n}{\sum p\left(\begin{array}{c}n\\ p\end{array}\right)=2^{n-1}n}}$  går det att lösa(hoppas jag)

Detta kan härledas av identiteten $\left(\begin{array}{c}k\\ r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-r\\ k-r\end{array}\right)$ och $\underset{}{\overset{}{\sum \left(\begin{array}{c}n-r\\ k-r\end{array}\right)=2^{n-r}}}$ eftersom vi kan säga att vi vill räkna antalet subsätt till (n-r) och alla element har två "läggen" med eller inte med i ett subset därav identiteten.(antag k-r börjar mindre än n-r och går till eller över den)

Tack för hjälpen alltihopa. Jag har kämpat lite för att förstå men lyckades få ett svar.

Det är $2^{23}\times 600$

Vali skrev:

Tack för hjälpen alltihopa. Jag har kämpat lite för att förstå men lyckades få ett svar.

Det är $2^{23}\times 600$

 Det stämmer! Bra jobbat!

Ett alternativ hade varit att börja med "halva binomialsatsen":

$\displaystyle\left(1+x\right)^n=\sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}x^p$

och sedan derivera båda led med avseende på $x$ två gånger:

$\displaystyle n\left(1+x\right)^{n-1}=\sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}px^{p-1}$

$\displaystyle n\left(n-1\right)\left(1+x\right)^{n-2}=\sum_{p=0}^n\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}p\left(p-1\right)x^{p-2}$

Om vi sätter in $x=1$ och $n=25$ i detta får vi nästan summan vi eftersöker i HL!

$\displaystyle 25\cdot24\left(1+1\right)^{23}=\sum_{p=0}^{25}\begin{pmatrix}25\\p\end{pmatrix}p\left(p-1\right)1^{p-2}$

Om vi sedan inser att den första termen i summan blir noll kan vi skriva:

$\displaystyle\sum_{p=1}^{25}\begin{pmatrix}25\\p\end{pmatrix}p\left(p-1\right)=25\cdot24\cdot2^{23}=600\cdot2^{23}$

Kombinatorisk lösning:

S är antalet sätt att bland 25 personer, välja ut p stycken, säg en styrelse, och sedan bland de p utse en ordförande och en sekreterare.

Men då kan vi resonera åt andra hållet, det finns 25 sätt att välja ordförande, 24 sätt att välja sekretare, och 2^23 sätt att bland de resterande 23 välja ut övriga styrelsen.

Så S=25*24*2^23

Det gäller att $p(p-1) = 2 {p \choose 2}$ så summan ser ut som

    $S = 2 \cdot \sum_{p=1}^{25}{p \choose 2} {25 \choose p}$ .