Beräkna trigonometrisk itererad integral

Halloj! Idag stötte jag på integralen 

$\displaystyle I = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\frac{\left(z+w\right)\left(2-z-w\right)\left(1-z-w\right)}{\sin\left(\pi\left(z+w\right)\right)}dzdw \approx 0.35888$

Ser ut som en  mardröm!

Jag har inte många ideér på hur man kan beräkna den. Mathematica lyckas inte, men värdet på den bör vara

$\displaystyle I = \frac{186\zeta\left(5\right)}{\pi^{5}}-\frac{7\zeta\left(3\right)}{\pi^{3}}$ 

Där $\zeta(x)$ är riemanns zetafunktion. 

Jag testade några trigonometriska substitutioner och skrev om integralen till  

$\displaystyle I = \frac{16}{\pi^{5}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x-y\right)\frac{\left(x+y\right)\left(\pi-x-y\right)\left(1+\tan^{2}x\right)\left(1+\tan^{2}y\right)}{\tan\left(x\right)\left(1-\tan^{2}y\right)+\left(1-\tan^{2}x\right)\cdot\tan\left(y\right)}dxdy$

Det ser hemskt ut men detta känns mest lovande pga faktorn av $\frac{1}{\pi^5}$ framför integralen. Det finns även en del symmetri i detta integrand. 

Detta kan också skrivas om till:

$\displaystyle I = \frac{16}{\pi^{5}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{\pi}{2}-x-y\right)\frac{\left(x+y\right)\left(\pi-x-y\right)}{\sin\left(x+y\right)\cos\left(x+y\right)}dxdy$

Har ni några ideer på hur man kan ta itu med dessa integraler?