Beräkna trippelintegral

Om jag förstår dig rätt vill du att både x och y ska ha övre gräns 1? Men om både x och y är 1, och samtidigt är z>=0, vad blir x +y+z då? Är du då innanför området? 

Hondel skrev:

Om jag förstår dig rätt vill du att både x och y ska ha övre gräns 1? Men om både x och y är 1, och samtidigt är z>=0, vad blir x +y+z då? Är du då innanför området? 

Ja precis både x och y ska ha övre gräns 1 och undre gräns 0. Hm ja det blir ju isåfall 1+1+0<=1 vilket inte stämmer ty 2 är inte mindre än eller lika med 1. Nej vi är då utanför området. Men tex 0+1+0<=1 så stämmer det ju med villkoret.

Alla punkter inom integrationsområdet MÅSTE uppfylla olikheten $x+y+z\le 1$.

Om du låter $0 \le x \le 1$ och samtidigt $0 \le y \le 1$ definiera området i $x$- och $y$-ledet, så finns det massa punkter där olikheten $x+y+z\le 1$ EJ gäller.  Sådana punkter måste uteslutas från integrationsområdet. (Olikheten är garanterat inte uppfylld ifall $x+y > 1$ då $z$ är positivt.)

Du har kommit fram till att $0 \le z \le 1-x-y$. Det måste finnas något uttrymme för $z$ i intervallet $[0, 1-x-y]$, vilket innebär att $0 \le 1-x-y$ behöver gälla (annars kan inte $z$ ligga däremellan)

LuMa07 skrev:

Alla punkter inom integrationsområdet MÅSTE uppfylla olikheten $x+y+z\le 1$.

Om du låter $0 \le x \le 1$ och samtidigt $0 \le y \le 1$ definiera området i $x$- och $y$-ledet, så finns det massa punkter där olikheten $x+y+z\le 1$ EJ gäller.  Sådana punkter måste uteslutas från integrationsområdet. (Olikheten är garanterat inte uppfylld ifall $x+y > 1$ då $z$ är positivt.)

---

Du har kommit fram till att $0 \le z \le 1-x-y$. Det måste finnas något uttrymme för $z$ i intervallet $[0, 1-x-y]$, vilket innebär att $0 \le 1-x-y$ behöver gälla (annars kan inte $z$ ligga däremellan)

Ja precis det  är sant att en del punkter inte skulle uppfylla kravet för villkoret om både x och y varierar mellan 0 och 1. Jag håller med gällande z. Men isåfall måste antingen x eller y variera tex att y varierar mellan 0 till 1-x och x varierar mellan 0 till 1.  Problemet för mig var bara hur jag ska  komma på vilken av dem (x eller y ) som varierar mellan 0 till 1 och som varierar mellan 0 till en linje tex 1-x eller liknande för att komma fram till ett integrals värde. 

destiny99 skrev:

Problemet för mig var bara hur jag ska  komma på vilken av dem (x eller y ) som varierar mellan 0 till 1 och som varierar mellan 0 till en linje tex 1-x eller liknande för att komma fram till ett integrals värde. 

Du har frihet att välja integrationsordningen och därmed vilken av variablerna x och y som beror på den andra, d.v.s.

$\int_0^1 ( \int_0^{1-x} ( \int_0^{1-x-y}f\left(x,y,z\right)\,dz)\,dy)\,dx$

och

$\int_0^1 ( \int_0^{1-y} ( \int_0^{1-x-y}f\left(x,y,z\right)\,dz)\,dx)\,dy$

funkar lika bra

LuMa07 skrev:

destiny99 skrev:

Problemet för mig var bara hur jag ska  komma på vilken av dem (x eller y ) som varierar mellan 0 till 1 och som varierar mellan 0 till en linje tex 1-x eller liknande för att komma fram till ett integrals värde. 

Du har frihet att välja integrationsordningen och därmed vilken av variablerna x och y som beror på den andra, d.v.s.

$\int_0^1 ( \int_0^{1-x} ( \int_0^{1-x-y}f\left(x,y,z\right)\,dz)\,dy)\,dx$

och

$\int_0^1 ( \int_0^{1-y} ( \int_0^{1-x-y}f\left(x,y,z\right)\,dz)\,dx)\,dy$

funkar lika bra

Ja absolut det är inga problem. Men min fråga är hur man kommer på att tex x eller y varierar till en linje ? Jag var så säker på att båda variablerna varierade mellan 0 och 1 men tänkte inte så långt att det påverkar villkoret x+y+z<=1 tex om x=y=0 funkar det ,men sen om x=y=1 har vi ett problem eller andra random värden som är mellan 0 och 1 om z=0.

LuMa07 skrev:

Du har kommit fram till att $0 \le z \le 1-x-y$. Det måste finnas något uttrymme för $z$ i intervallet $[0, 1-x-y]$, vilket innebär att $0 \le 1-x-y$ behöver gälla (annars kan inte $z$ ligga däremellan)

Om man väljer att $y$ kommer i mellersta integralen, så...:

Lös ut $y$ ur olikheten $0 \le 1-x-y$. Då får du att $y \le 1-x$. Du vet dessutom att $y \ge 0$, så $0 \le y \le 1-x$.

Om $y$ ska ligga i intervallet $[0, 1-x]$, så måste det finnas utrymme för $y$ mellan $0$ och $1-x$ och därmed krävs det att $0 \le 1-x$. Detta ger att $x \le 1$ (och det var givet att $x \ge 0$).

Sammafattning:

• $0 \le z \le 1-x-y$
• $0 \le y \le 1-x$
• $0 \le x \le 1$

LuMa07 skrev:

LuMa07 skrev:

Du har kommit fram till att $0 \le z \le 1-x-y$. Det måste finnas något uttrymme för $z$ i intervallet $[0, 1-x-y]$, vilket innebär att $0 \le 1-x-y$ behöver gälla (annars kan inte $z$ ligga däremellan)

Om man väljer att $y$ kommer i mellersta integralen, så...:

Lös ut $y$ ur olikheten $0 \le 1-x-y$. Då får du att $y \le 1-x$. Du vet dessutom att $y \ge 0$, så $0 \le y \le 1-x$.

Om $y$ ska ligga i intervallet $[0, 1-x]$, så måste det finnas utrymme för $y$ mellan $0$ och $1-x$ och därmed krävs det att $0 \le 1-x$. Detta ger att $x \le 1$ (och det var givet att $x \ge 0$).

Sammafattning:

• $0 \le z \le 1-x-y$
• $0 \le y \le 1-x$
• $0 \le x \le 1$

Väldigt bra förklarat! Jag förstår nu. Det verkar logiskt!  Tips på hur man ska integrera integranden?  Funderar på sätta x+y+z=u