Beräkna trippelintegralen med hjälp av sfäriska koordinater

Hej!

 

Jag har fastnat på följande uppgift:

Mitt tankesätt:

$$\begin{gathered} x =\hspace{0.17em}\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y =\hspace{0.17em}\rho \sin \varphi \sin \theta \\ {x}^2 + y^2 + z^2 = {\rho }^2 \end{gathered}$$

${\rho }^2 = a^2 \iff \rho =\hspace{0.17em}a$ 

Vi sätter $x =\hspace{0.17em}0$. Detta gör så att vi nu är på zy-planet med cirkeln $z^2 + y^2 = a^2$.

Vinkeln $\varphi$, på planet är $0\le \varphi \le \mathrm{\pi }$.

Nu sätter vi $z = 0$,

då är vi på xy-planet med cirkeln $x^2 + y^2 = a^2$, och där är $\theta$ $0\le \theta \le 2\pi$.

 Med denna information kan vi nu sätta upp vår trippelintegral:

 

$$\begin{gathered} {\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\int }_0^a\left(\sqrt{{\rho }^2{\sin }^2\varphi {\cos }^2\theta +{\rho }^2{\sin }^2\varphi {\sin }^2\theta }\right){\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta \\ = {\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\pi }}{\int }_0^a\left({\rho }^3{\sin }^2\varphi \right)d\rho d\varphi d\theta \end{gathered}$$

 

När jag sedan löser ifrågavarande integral får jag svaret $a^4\mathrm{\pi } \mathrm{v}.\mathrm{e}.$, vilket är fel enligt facit.

Jag har dubbelkollat integrationen, och matematiken verkar felfri, så jag undrar därför ifall jag satt upp integralen fel?

 

Tack :)