Beräkna vektor ortogonal mot annan

Man kan inte bara hitta på vektorn $\vec{b}$, utan den skall beräknas.

Du har fyra (linjära) ekvationer och fyra obekanta variabler, $b_1, b_2, b_3, k$:

$-5b_1 - b_2 + 5 b_3 = 0$ är en av ekvationerna och sedan har du ekvationstrippeln $\begin{pmatrix}-2\\-2\\3\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}-5\\-1\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$

Eller om man skriver ut ekvationstrippeln som separata ekvationer:

$\left\{\begin{array}{rllll}&-5b_1&-b_2&+5b_3&=0\\-5k&+b_1&&&=-2 \\ -1k&&+b_2&&=-2\\5k&&&+b_3&=3\end{array}\right.$

Alternativ lösning: Vektorn $\vec{a}$ kan bestämmas m.h.a. projektionsformeln. Vektorn $\vec{b}$ är sedan dess ortogonala komplement.

LuMa07 skrev:

Man kan inte bara hitta på vektorn $\vec{b}$, utan den skall beräknas.

Du har fyra (linjära) ekvationer och fyra obekanta variabler, $b_1, b_2, b_3, k$:

$-5b_1 - b_2 + 5 b_3 = 0$ är en av ekvationerna och sedan har du ekvationstrippeln $\begin{pmatrix}-2\\-2\\3\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}-5\\-1\\5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}$

Eller om man skriver ut ekvationstrippeln som separata ekvationer:

$\left\{\begin{array}{rllll}&-5b_1&-b_2&+5b_3&=0\\-5k&+b_1&&&=-2 \\ -1k&&+b_2&&=-2\\5k&&&+b_3&=3\end{array}\right.$

 

Alternativ lösning: Vektorn $\vec{a}$ kan bestämmas m.h.a. projektionsformeln. Vektorn $\vec{b}$ är sedan dess ortogonala komplement.

Du är en hjälte, ja ekvationssystemet är super men jag tror de vill att man ska använda projektionsformeln, om b är dess ortogonala komponent hur använder man då formeln och hur ser det ut geometriskt

Om vektorn (-2, -2, 3) kallas för $\vec{v}$, så kommer projektionsformeln lyda $\vec{a} = \dfrac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\|\vec{u}\|^2} \vec{u}$, där $\cdot$ betecknar skalärprodukten.

När man beräknat $\vec{a}$, så är komplementet helt enkelt differensen mellan den funna projektionen och ursprungsvektorn, d.v.s. $\vec{b} = \vec{v} - \vec{a}$. Det är alltså den vektorn som går från projektionens spets mot ursprungsvektorns spets.