Beräkna vertex?

Vertex är den punkt där kurvan "vänder" det vill säga i detta fall den minimipunkt som funktionen har. Så du kan börja med att beräkna xen för att sedan använda dessa värden men du kan också beräkna på ett annat sätt.

zibpka skrev :

Hur beräknar man vertex på en ekvation?

Och framför allt. Vad är vertex för nånting?

Ekvationen jag sitter med är

$y=x^2-6x+14$

Börjar man med att lösa xena eller?

Vertex är den punkt på en kurva där kurvan har en min- eller maxpunkt.

En andragradskurva har endast ett vertex och det ligger på symmetrilinjen.

Symmetrilinjen ligger mitt emellan nollställena.

Hur beräknar man maxi eller minipunkten då om man inte har ritat en graf? Måste man göra den först? 

zibpka skrev :

Hur beräknar man maxi eller minipunkten då om man inte har ritat en graf? Måste man göra den först? 

Max- eller minpunkten ligger som sagt vid symmetrilinjen.

Symmetrilinjen är en vertikal (lodrät) linje som har den egenskapen att andragradskurvan är symmetrisk kring denna linje.

Om du skriver andragradsuttrycket på formen $x^2+px+q$ så ligger symmetrilinjen vid $x=-\frac{p}{2}$.

Du kan även bestämma var symmetrilinjen ligger genom att först ta reda på vilka nollställen andragradsuttrycket har (med hjälp av pq-formeln eller kvadratkomplettering). Symmetrilinjen ligger sedan mitt emellan dessa nollställen.

När du väl har tagit reda på vilken x-koordinat som symmetrilinjen har är det enkelt att ta fram y-koordinaten för vertex (min- eller maxpunkten) genom att sätta in detta x-värde i det ursprungliga andragradsuttrycket.

Jag tycker absolut att du ska läsa detta avsnitt om andragradsfunktioner, nollställen, min- och maxpunkter samt symmetrilinjen.

Men även om jag löser xen så vet jag ju bara mitten av dom. Jag vet ju inte hur långt ner eller upp på y-axeln vändningen kommer på grafen.

Men om du vet x-värdet för vertex är det ju lätt att räkna ut y-värdet genom att använda x-värdet i funktionen.

zibpka skrev :

Men även om jag löser xen så vet jag ju bara mitten av dom. Jag vet ju inte hur långt ner eller upp på y-axeln vändningen kommer på grafen.

Du har att

y=x^2−6x+14

 Så du klarar dig nog rätt bra om du vet ett x-värde... :-) Eller hur?

Men för att få ut svaret måste man rita en graf eller?

Exakt vad är frågan?

Om du bara ska ange vertex så skall du ange minimipunkten på kurvan, med en x-koordinat och en y-koordinat. Klart.

Har du hittat nollställena (två stycken x-värden) så är det värdet exakt mittemellan dem som är x-koordinaten för vertex. y-koordinaten räknar du ut med kurvans ekvation.

Bubo skrev :

Exakt vad är frågan?

Om du bara ska ange vertex så skall du ange minimipunkten på kurvan, med en x-koordinat och en y-koordinat. Klart.

Har du hittat nollställena (två stycken x-värden) så är det värdet exakt mittemellan dem som är x-koordinaten för vertex. y-koordinaten räknar du ut med kurvans ekvation.

Just nu kan jag inte ens lösa andragradsekvationen.

Jag kommer till

$$\begin{gathered} x^{2-}-6x+14 \\ x=-\frac{-6}{2}\pm {\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)}}^2-14 \\ x=3\pm \end{gathered}$$

Och där kört det ihop sej eftersom 6/2^2 blir 9 och 9 minus 14 blir -5 och ta roten ur -5 går inge bra

Vart har jag gjort fel?

Genom att subtrahera en konstant från kurvan så kommer inte vertex att ändra x-koordinat.

Titta här: https://www.desmos.com/calculator/fn1s6qoq8w dra i slidern för k så adderas olika kontanter till kurvan och notera att vertex alltid har samma x-koordinat.

Så det du kan gör är att subtrahera 14 från kurvan och få

$y = x^2 - 6x$

Nu löser du vad för x-koordinat vertex har för denna kurva. Då måste vertex för $y = x^2 - 6x + 14$ ha samma x-koordinat.

Stokastisk skrev :

Genom att subtrahera en konstant från kurvan så kommer inte vertex att ändra x-koordinat.

Titta här: https://www.desmos.com/calculator/fn1s6qoq8w dra i slidern för k så adderas olika kontanter till kurvan och notera att vertex alltid har samma x-koordinat.

Så det du kan gör är att subtrahera 14 från kurvan och få

$y = x^2 - 6x$

Nu löser du vad för x-koordinat vertex har för denna kurva. Då måste vertex för $y = x^2 - 6x + 14$ ha samma x-koordinat.

Finns det ingen lättare sätt? förstod inte nånting av vad du mena och använda desmos under prov lär ju inte va tillåtet =)

Det är inte speciellt svårt sätt, men jag kanske inte gjorde så bra förklaring. Du kommer inte behöva använda dig av desmos, det var bara för att du skulle se att vertex inte ändrade x-koordinat.

Om vi säger såhär. Är du med på att vertex för $y = x^2 - 6x + 14$ har samma x-koordinat som vertex för $y = x^2 - 6x$?

Ser du på desmos att x-koordinaten för vertex inte förändras när du ändrar k-värdet?

Stokastisk skrev :

Det är inte speciellt svårt sätt, men jag kanske inte gjorde så bra förklaring. Du kommer inte behöva använda dig av desmos, det var bara för att du skulle se att vertex inte ändrade x-koordinat.

Om vi säger såhär. Är du med på att vertex för $y = x^2 - 6x + 14$ har samma x-koordinat som vertex för $y = x^2 - 6x$?

Ser du på desmos att x-koordinaten för vertex inte förändras när du ändrar k-värdet?

M-värdet menar du?

Ja, du kan kalla det m-värdet, men i desmos så kallade jag variabeln för k.

Jag menar alltså

$y = x^2 - 6x + m$

Att oavsett hur du väljer m, så kommer vertex ha exakt samma x-koordinat, är du med på det?

Stokastisk skrev :

Ja, du kan kalla det m-värdet, men i desmos så kallade jag variabeln för k.

Jag menar alltså

$y = x^2 - 6x + m$

Att oavsett hur du väljer m, så kommer vertex ha exakt samma x-koordinat, är du med på det?

Ok. i boken har det hetat m-värde hela tiden så ja att kalla det k-värde som det siffran före x så blir det ganska förvirrande.

Ja det är jag efter att ha kollat upp det i desmos. Men om jag då löser andragradsekvationen för att få ut xena utan ett mvärde blir ju värdet på xena fel också eller hur?

Du kommer få "fel" rötter om du löser utan m-värdet. Men poängen är att vertex inte byter x-koordinat, så x-koordinaten för vertex kommer vara korrekt.

Så om du löser

$x^2 - 6x = 0$

$x(x - 6) = 0$

Alltså x = 0, eller x = 6 är rötterna. Då får vi x-koordinaten för vertex som $(0 + 6)/2 = 3$. Detta är då x-koordinaten för vertex till kurvan $y = x^2 - 6x + 14$ också.

Så då vet du x-koordinaten för vertex, kan du då också beräkna y-koordinaten?

Stokastisk skrev :

Du kommer få "fel" rötter om du löser utan m-värdet. Men poängen är att vertex inte byter x-koordinat, så x-koordinaten för vertex kommer vara korrekt.

Så om du löser

$x^2 - 6x = 0$

$x(x - 6) = 0$

Alltså x = 0, eller x = 6 är rötterna. Då får vi x-koordinaten för vertex som $(0 + 6)/2 = 3$. Detta är då x-koordinaten för vertex till kurvan $y = x^2 - 6x + 14$ också.

Så då vet du x-koordinaten för vertex, kan du då också beräkna y-koordinaten?

 

Då blir alltså y=5 
Men hur kom du fram till 
(0+6)/2=3

Alltså vart fick du som siffrorna ifrån?

Vertex ligger mitt mellan rötterna. Enligt nollproduktsmetoden så har

$x(x - 6) = 0$

rötterna x = 0 och x = 6. Mitt mellan dessa två värden är (6 + 0)/2 = 3. Så 3 ligger mitt mellan 0 och 6 som är rötterna till $x^2 - 6x = 0$.

Edit: Ja det är korrekt att y = 5.

Alltså blir inte klok på det här

Försökte med nästa ekvation som löd 

$$\begin{gathered} y=x^2+8x+23 \\ Om vi utgår ifrån att jag skippar +23 som på förra \\ så löser jag x-värdena \\ x=-\frac{8}{2}\pm {\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)}}^2 \\ {x}_1=-4+4=0 \\ {x}_{2= -4-4=-8} \end{gathered}$$

Om jag går samma väg för att få veta vertexens x-värdet 

0-8/2=-4

Och sätta in ett negativt värde i en x^2 funkar väl inte?

Det går bra att stoppa in -4 i $x^2$. Man får att

$(-4)^2 = (-4)\cdot (-4) = 16$

Det är i kvadratrötter man inte kan stoppa in negativa värden, dvs om det hade stått $\sqrt{x}$.

Stokastisk skrev :

Det går bra att stoppa in -4 i $x^2$. Man får att

$(-4)^2 = (-4)\cdot (-4) = 16$

Det är i kvadratrötter man inte kan stoppa in negativa värden, dvs om det hade stått $\sqrt{x}$.

Ok Tack så stämde det =)

Sitter just nu med $$\begin{gathered} y=5x^2-10x-15 \\ För att lösa den delar jag på 5 \\ Får \\ {x}^2-2x-3 \\ Löser andragradsekvationen \\ Får \\ x=-\frac{-2}{2}\pm {\sqrt{\left(\frac{-2}{2}\right)}}^2+3 \\ {x}_1=1+2=3 \\ {x}_{2= 1-2=-1} \end{gathered}$$

Sen är jag lite konfunderad blir det 3-1/2 eller? för att få veta vertex x-värde?

För gör jag så stämmer x-värdet men sätter jag in det x-värdet som blir 1 stämmer det inte med y

Skall man sätta in det i första ekvationen där det är $5x^2-10x-15$ ?

Det är korrekt att x-värdet för vertex är vid x = 1. För att få y-värdet så ska du sätta in det i $5x^2 - 10x - 15$.

Stokastisk skrev :

Det är korrekt att x-värdet för vertex är vid x = 1. För att få y-värdet så ska du sätta in det i $5x^2 - 10x - 15$.

Hmm. Stämmer inte för mej

Sätter jag in 1 i den ekvationen får jag $$\begin{gathered} 5*1^2=25 \\ -10*1=-10 \\ -15 \\ Det får jag till 0 och enligt facit skall y=-20 \\ Vart har jag gjort fel? \end{gathered}$$

När man räknar ut $5\cdot 1^2$ så räknar man kvadraten först, så man räknar så här

$5\cdot 1^2 = 5\cdot 1\cdot 1 = 5$

Om du fixar till det så kommer du få y = -20 istället.

Stokastisk skrev :

När man räknar ut $5\cdot 1^2$ så räknar man kvadraten först, så man räknar så här

$5\cdot 1^2 = 5\cdot 1\cdot 1 = 5$

Om du fixar till det så kommer du få y = -20 istället.

 

Haha tack så mycket. Alla dessa matteregler. Va skulle jag göra utan pluggakuten =)