Beräkna volymen

Jag vill bara dubbelkolla att jag har gjort rätt här.

 

Rotation kring y-axeln:

$∆V=\mathrm{\pi }·{\mathrm{x}}^2·∆\mathrm{y}$

$$\begin{gathered} y=9-x^2 \\ {x}^2=9-y \\ x=\sqrt{9-y} \end{gathered}$$

$∆V=\mathrm{\pi }·{\left(\sqrt{9-\mathrm{y}}\right)}^2·∆\mathrm{y}$

 

Gränsvärdena är y=0 och där funktionen skär y-axeln, alltså där x=0

$$\begin{gathered} y=9-{\left(0\right)}^2 \\ y=9 \end{gathered}$$

 

Integralen blir alltså:

$$\begin{gathered} V={\int }_0^9\mathrm{\pi }·{\left(\sqrt{9-\mathrm{y}}\right)}^2·\mathrm{dy} \\ \mathrm{\pi }{\int }_0^9(9-\mathrm{y})·\mathrm{dy}= \\ \mathrm{\pi }{[9\mathrm{y}-\frac{{\mathrm{y}}^2}{2}]}_0^9= \\ \mathrm{\pi }\left(9\right(9)-\frac{{\left(9\right)}^2}{2})-\mathrm{\pi }\left(9\right(0)-\frac{{\left(0\right)}^2}{2})= \\ \mathrm{\pi }(81-\frac{81}{2})= \\ \mathrm{\pi }(\frac{162}{2}-\frac{81}{2})= \\ \mathrm{\pi }\left(\frac{81}{2}\right)= \\ 40,5·\mathrm{\pi } \approx 127 \end{gathered}$$

 

Är detta rätt, och när det säger tre gällande siffror, då stämmer väl 127, jag behöver inga decimaler?