Beräkna volymen av den rotationskropp i figuren

Division med 4 är detsamma som att mulitplicera med 1/4.

$\frac{x^4}{16} = \frac{1}{16}x^4$

Du känner nog igen att när man integrerar polynom med konstanter framför dem så struntar man bara i konstanterna. 

Ex:

$\int_0^8 5x^3 dx = [\frac{5x^4}{4}]_0^{8}$

Divisionen med 16 behandlar du på samma sätt

$\int_0^2 \frac{1}{16}x^4 dx = [\frac{1}{16}\frac{x^5}{5}]_0^{2}$

SeriousCephalopod skrev:

Division med 4 är detsamma som att mulitplicera med 1/4.

$\frac{x^4}{16} = \frac{1}{16}x^4$

Du känner nog igen att när man integrerar polynom med konstanter framför dem så struntar man bara i konstanterna. 

Ex:

$\int_0^8 5x^3 dx = [\frac{5x^4}{4}]_0^{8}$

Divisionen med 16 behandlar du på samma sätt

$\int_0^2 \frac{1}{16}x^4 dx = [\frac{1}{16}\frac{x^5}{5}]_0^{2}$

Tack!

$\mathrm{\pi }\left(\right(\frac{1}{16}*\frac{2^5}{5})-(\frac{1}{16}*\frac{0^5}{5}\left)\right) = \mathrm{\pi }\left(\right(\frac{1}{16}*\frac{32}{5})-0)=\mathrm{\pi }*\frac{32}{80}$

$Svar: 1,25 VE$

Är följande rätt`?

Det är rätt om du ska svara med ett närmevärde, exakt värde är 0,4$pi$

Ture skrev:

Det är rätt om du ska svara med ett närmevärde, exakt värde är 0,4$/pi$

Tack för svar Ture!

Jag ska svara både exakt, och med ett närmevärde med tre gällande siffror.

Därför ska jag även svara som du gjorde, tack för påminnelsen!!

Ture skrev:

Det är rätt om du ska svara med ett närmevärde, exakt värde är 0,4$pi$

Har en uppgift där man ska räkna samma uppgift med skalmetoden. Hur ska man göra detta får ett annat svar än med skivmetoden men man borde väl få samma svar?

Båda ger samma svar, men ibland blir det enklare eräkningar med en av metoderna än den andra (vilken metod som är enklast varierar, därför är det bra att ha båda i sin verktygslåda).

Smaragdalena skrev:

Båda ger samma svar, men ibland blir det enklare eräkningar med en av metoderna än den andra (vilken metod som är enklast varierar, därför är det bra att ha båda i sin verktygslåda).

Ja problemet är att jag har en inlämnings uppgift och måste använda skalmetode. Har helt kört fast och hur jag än försöker får jag inte samma svar.

Visa hur du gjort! 

Ture skrev:

Visa hur du gjort! 

Kolla integrationsgränserna!

Ture skrev:

Kolla integrationsgränserna!

Visa spoiler

Skriv ditt dolda innehåll här

Vad menar du? Gränserna kan väl inte vara något annat än 0 och 2?

Nu integrerar du i y-led 

När x = 2 är y = 1

Ture skrev:

Nu integrerar du i y-led 

När x = 2 är y = 1

Så vad blir gränserna x-led då?

X går från 0 till 2, men y går från 0 till 1.

Men du gör ett fel till.

Du beräknar volymen av kroppen som ligger mellan y-axeln och kurvan, dom frågar efter kroppen som ligger mellan kurvan och linjen x = 2

Ture skrev:

X går från 0 till 2, men y går från 0 till 1.

Men du gör ett fel till.

Du beräknar volymen av kroppen som ligger mellan y-axeln och kurvan, dom frågar efter kroppen som ligger mellan kurvan och linjen x = 2

Jonne skrev:

Ture skrev:

X går från 0 till 2, men y går från 0 till 1.

Men du gör ett fel till.

Du beräknar volymen av kroppen som ligger mellan y-axeln och kurvan, dom frågar efter kroppen som ligger mellan kurvan och linjen x = 2

Om jag gör såhär får jag ju rätt svar men det känns fel ändå på något sätt?

Jo det är faktiskt rätt. 

Den sökta volymen är skillnaden mellan en cylinder med r = 1 och längd = 2, ger volymen 2pi, och den kropp vars volym du beräknar i integralen med dy i.

Det blir tydligt om du ritar kurvan och markerar i figuren vad du beräknat. 

Jag kan visa i morgon, nu är det sovdags. 

Ture skrev:

Jo det är faktiskt rätt. 

Den sökta volymen är skillnaden mellan en cylinder med r = 1 och längd = 2, ger volymen 2pi, och den kropp vars volym du beräknar i integralen med dy i.

Det blir tydligt om du ritar kurvan och markerar i figuren vad du beräknat. 

Jag kan visa i morgon, nu är det sovdags. 

Ja gör det tack och godnatt

Som vanligt: Första steget är att rita upp kroppen. Om du hade börjat med att göra detta, hade du sluppit mycket krångel.

Som jag skrev i natt och som Smaragdalena påpekade, om man ritar så klarnar det:

Så här ser det ut

Det är volymen som uppstår när det gula området, B, roterar runt x-axeln du vill beräkna.

Den integral du gjorde i inlägg #10 beräknar volymen som uppstår när det blå området, A, roterar. (dvs om y går från 0 till 1)

Som du ser bildar det blå och det gula området tillsammans en rektangel, när den snurrar runt x-axeln bildas en cylinder vars volym minskat med volymen som område A ger upphov till, blir den sökta volymen. Dvs det du beräknade i inlägg #16

Nu tycker jag att du ska formulera en integral som direkt ger den sökta volymen, med skalmetoden.

Börja med att rita det skal som bildas när en liten strimma i det gula området roterar.

Ture skrev:

Som jag skrev i natt och som Smaragdalena påpekade, om man ritar så klarnar det:

Så här ser det ut

Det är volymen som uppstår när det gula området, B, roterar runt x-axeln du vill beräkna.

Den integral du gjorde i inlägg #10 beräknar volymen som uppstår när det blå området, A, roterar. (dvs om y går från 0 till 1)

Som du ser bildar det blå och det gula området tillsammans en rektangel, när den snurrar runt x-axeln bildas en cylinder vars volym minskat med volymen som område A ger upphov till, blir den sökta volymen. Dvs det du beräknade i inlägg #16

Nu tycker jag att du ska formulera en integral som direkt ger den sökta volymen, med skalmetoden.

Börja med att rita det skal som bildas när en liten strimma i det gula området roterar.

Men vad blir då skalets höjd? Om själva längden eller omkretsen blir 2piy

HAr du ritat ett skal?

Visa din bild!

Ture skrev:

HAr du ritat ett skal?

Visa din bild!

vet inte riktigt hur mab ska rita 

Du har ritat en bra bild, den i koordinatsystemet alltså.

Det skal du ritat, vilken bredd har det och vilken innerradie, uttryckt i x och y?
När du formulerat det översätter du det till enbart y och ev konstanter.
Vad är tjockleken på skalet?
Vad blir skalets volym?

Sen är det dags att formulera din integral och lösa den!

Ture skrev:

Du har ritat en bra bild, den i koordinatsystemet alltså.

Det skal du ritat, vilken bredd har det och vilken innerradie, uttryckt i x och y?
När du formulerat det översätter du det till enbart y och ev konstanter.
Vad är tjockleken på skalet?
Vad blir skalets volym?

Sen är det dags att formulera din integral och lösa den!

Men brdden är väl samma sak som cylinderns omkrets alltså 2pix eller 2piy sen vet jag inte tjocklen eller inerradien.

Titta i din figur, med bredd menar ja i x-led

Om skalet träffar kurvan i  (a, b) ,  hur bred är då cylindern? 

Ture skrev:

Titta i din figur, med bredd menar ja i x-led

Om skalet träffar kurvan i  (a, b) ,  hur bred är då cylindern? 

Nu hänger ja inte riktigt med från 0 till 2?

Titta på din bild: skalet träffar kurvan i a, b alltså är skalet bredd.... 

Ture skrev:

Titta på din bild: skalet träffar kurvan i a, b alltså är skalet bredd.... 

1 till 2

om vänstra sidan av skalet är på a och högra på 2 blir bredden 2-a

VAd är skalets innerradie? 

Ture skrev:

om vänstra sidan av skalet är på a och högra på 2 blir bredden 2-a

VAd är skalets innerradie? 

Ingen aning men kanske 1-a om höjden är y=1

Radien räknas från x axeln till skalet. 

Dvs  y koordinaten som vi för just det här skalet kallar b. 

Ture skrev:

Radien räknas från x axeln till skalet. 

Dvs  y koordinaten som vi för just det här skalet kallar b. 

Nå nu har jag kokat ihop en integral denna ser väl rätt ut?

Den ser bra ut, vad får du när du löser den? 

Ture skrev:

Den ser bra ut, vad får du när du löser den? 

0,4pi alltså samma som med skivmetoden

Lysande!