Beräkna volymen av rotationskroppen (Matematik/Matte 4/Integraler och tillämpningar)

lamayo skrev:
Har jag börjat rätt?

Figuren är fel.

Du har missat att rita in linjerna x = 0 och x = pi/2.

Dessa två linjer begränsar området åt vänster respektive höger.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Har jag börjat rätt?
Figuren är fel.
Du har missat att rita in linjerna x = 0 och x = pi/2.
Dessa två linjer begränsar området åt vänster respektive höger.

Jag tror du ska följa linjen cos(x) från (0,1) till dess att den möter sin(x) vid x = pi/4, följ sedan sin(x) till (pi/2,1)

Allt under denna "måsvinge" ned till x- axeln ska roteras.

Ture skrev:
Jag tror du ska följa linjen cos(x) från (0,1) till dess att den möter sin(x) vid x = pi/4, följ sedan sin(x) till (pi/2,1)
Allt under denna "måsvinge" ned till x- axeln ska roteras.

så? det är väll inte rimligt?

Nej inte så, Vänstra halvan är fel. läs mitt inlägg igen, börja vid (0,1) följ cos-kurvan...

lamayo skrev:
så? det är väll inte rimligt?

Nej det stämmer inte.

Läs texten igen.

En begränsningslinje är x = 0. Den sammanfaller med y-axeln.
En begränsningslinje är x = pi/2.
En begränsningskurva är y = sin(x).
En begränsningskurva är y = cos(x).

Så här ska det vara (se bild).

Det är alltså två områden det är fråga om.

Så är det! Jag hade också missförstått!

Yngve skrev:
lamayo skrev:
så? det är väll inte rimligt?
Nej det stämmer inte.
Läs texten igen.
En begränsningslinje är x = 0. Den sammanfaller med y-axeln.
En begränsningslinje är x = pi/2.
En begränsningskurva är y = sin(x).
En begränsningskurva är y = cos(x).
Så här ska det vara (se bild).
Det är alltså två områden det är fråga om.

så jag ska räkna ut volymen av varje och sedan addera dem?

lamayo skrev:

så jag ska räkna ut volymen av varje och sedan addera dem?

Ja det kan du göra. Sedan kan man tänka smartare men det blir en senare fråga.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
så jag ska räkna ut volymen av varje och sedan addera dem?
Ja det kan du göra. Sedan kan man tänka smartare men det blir en senare fråga.

hur vet jag primitiv funktion av sinx^2 och cosx^2?

Börja med att ta fram uttrycket för integralen. Det är ingen mening med att börja integrera det, förrän det är riktigt.

Smaragdalena skrev:
Börja med att ta fram uttrycket för integralen. Det är ingen mening med att börja integrera det, förrän det är riktigt.

är det inte vad jag gjort högst upp i mitt inlägg?

Var då? Skriv det i nästa inlägg, så att vi inte behöver leta. (Det verkar osannolikt att du skulle kunna få fram rätt uttryck innan du har fått en korrekt skiss, och jag hittar ingen integral efter Yngves skiss.)

Smaragdalena skrev:
Var då? Skriv det i nästa inlägg, så att vi inte behöver leta. (Det verkar osannolikt att du skulle kunna få fram rätt uttryck innan du har fått en korrekt skiss, och jag hittar ingen integral efter Yngves skiss.)

trodde det var detta?

Det klarar jag inte att läsa utan att slå knut på mig.

lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:
Var då? Skriv det i nästa inlägg, så att vi inte behöver leta. (Det verkar osannolikt att du skulle kunna få fram rätt uttryck innan du har fått en korrekt skiss, och jag hittar ingen integral efter Yngves skiss.)
trodde det var detta?

Nej det stämmer inte. Båda integralerna är fel.

Ta till exempel en skiva som ligger vid x, där 0 < x < pi/4.

Vad har denna skiva för yttre radie? Inre radie? Vad har skivan då för area?

Om skivans tjocklek är dx, vad har skivan då för volym?

---------

Ta sedan en skiva som ligger vid x, där pi/4 < x < pi/2.

Vad har denna skiva för yttre radie? Inre radie? Vad har skivan då för area?

Om skivans tjocklek är dx, vad har skivan då för volym?

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Smaragdalena skrev:
Var då? Skriv det i nästa inlägg, så att vi inte behöver leta. (Det verkar osannolikt att du skulle kunna få fram rätt uttryck innan du har fått en korrekt skiss, och jag hittar ingen integral efter Yngves skiss.)
trodde det var detta?
Nej det stämmer inte. Båda integralerna är fel.
Ta till exempel en skiva som ligger vid x, där 0 < x < pi/4.
Vad har denna skiva för yttre radie? Inre radie? Vad har skivan då för area?
Om skivans tjocklek är dx, vad har skivan då för volym?
---------
Ta sedan en skiva som ligger vid x, där pi/4 < x < pi/2.
Vad har denna skiva för yttre radie? Inre radie? Vad har skivan då för area?
Om skivans tjocklek är dx, vad har skivan då för volym?

om jag ändrar till dx borde det väll stämma? radien är väll y? villet motsvarar cosx och sinx eller hur menar du?

Visa steg för steg hur du tänker - och se till att göra det på rätt håll, så att det går att läsa. Det går inte att förstå hur du tänker genom att bara läsa det du har skrivit - jag kan i alla fall inte begripa vad det är du skall ändra till dx, så jag har ingen aning om ifall det skulle bli rätt då eller inte.

lamayo skrev:

om jag ändrar till dx borde det väll stämma? radien är väll y? villet motsvarar cosx och sinx eller hur menar du?

Ser du att rotationskroppen består av två olika delar där varje del har ett hål i mitten? Och att detta håls storlek varierar med avståndet till y-axeln, dvs med x?

Om du försöker svara på mina frågor om skivornas yttre/inre radie samt area så kanske du själv ser hur det ska vara.

Gör det metodiskt steg för steg och hoppa inte över något. Det är när du hoppar över steg som du hamnar i felaktigheter.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
om jag ändrar till dx borde det väll stämma? radien är väll y? villet motsvarar cosx och sinx eller hur menar du?
Ser du att rotationskroppen består av två olika delar där varje del har ett hål i mitten? Och att detta håls storlek varierar med avståndet till y-axeln, dvs med x?
Om du försöker svara på mina frågor om skivornas yttre/inre radie samt area så kanske du själv ser hur det ska vara.
Gör det metodiskt steg för steg och hoppa inte över något. Det är när du hoppar över steg som du hamnar i felaktigheter.

både inre och yttre radie är väll x? sedan vet jag inte hur jag uttrycker det..

lamayo skrev:

både inre och yttre radie är väll x? sedan vet jag inte hur jag uttrycker det..

Nej det stämmer inte.

Området roterar runt x-axeln.

Det betyder att x-axeln är rotationsaxel och att en skivas radie är ett visst avstånd från x-axeln.

Rita en figur som visar att du förstår hur rotationen ser ut.

Eftersom y= $\sqrt{x}$ då är väll radien uttryckt i y lika med y^2-(-1)?

lamayo skrev:
Eftersom y= $\sqrt{x}$ då är väll radien uttryckt i y lika med y^2-(-1)?

Fel tråd. Här pratar vi om y = sin(x) och y = cos(x).

Rita en figur som förklarar hur du tänker.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Eftersom y= $\sqrt{x}$ då är väll radien uttryckt i y lika med y^2-(-1)?
Fel tråd. Här pratar vi om y = sin(x) och y = cos(x).
Rita en figur som förklarar hur du tänker.

Den här metoden bör väll fungera eftersom jag då tar pi*sinx^2dx som är volymen för ena "vingeln" sedan subtraherar jag pi*cosx^2dx och tvärtom på andra då tar jag pi*cosx^2dx och subtraherar pi*sinx^2dx?

lamayo skrev:

Den här metoden bör väll fungera eftersom jag då tar pi*sinx^2dx som är volymen för ena "vingeln" sedan subtraherar jag pi*cosx^2dx och tvärtom på andra då tar jag pi*cosx^2dx och subtraherar pi*sinx^2dx?

Återigen - dina integraler stämmer inte.

Förra gången du visade samma integraler svarade jag med dessa frågor för att du själv skulle komma på vad som var fel. Du har inte besvarat de frågorna och integralerna har inte blivit mer rätt av sig själva sedan dess.

Här får du ett tips:

I intervallet $0\leq x\leq \frac{\pi }{4}$ är cos(x) den övre funktionen och sin(x) den undre funktionen. Där är alltså skivornas yttre radie lika med cos(x) och den inre radien lika med sin(x).

Kan du då ställa upp ett uttryck för en skivas area i detta intervall?

Resonera sedan på liknade sätt för skivorna i intervallet $\frac{\pi }{4} \leq x\leq \frac{\pi }{2}$

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Den här metoden bör väll fungera eftersom jag då tar pi*sinx^2dx som är volymen för ena "vingeln" sedan subtraherar jag pi*cosx^2dx och tvärtom på andra då tar jag pi*cosx^2dx och subtraherar pi*sinx^2dx?
Återigen - dina integraler stämmer inte.
Förra gången du visade samma integraler svarade jag med dessa frågor för att du själv skulle komma på vad som var fel. Du har inte besvarat de frågorna och integralerna har inte blivit mer rätt av sig själva sedan dess.
Här får du ett tips:
I intervallet $0\leq x\leq \frac{\pi }{4}$ är cos(x) den övre funktionen och sin(x) den undre funktionen. Där är alltså skivornas yttre radie lika med cos(x) och den inre radien lika med sin(x).
Kan du då ställa upp ett uttryck för en skivas area i detta intervall?
Resonera sedan på liknade sätt för skivorna i intervallet $\frac{\pi }{4} \leq x\leq \frac{\pi }{2}$

lamayo skrev:

Nu förstår jag inte vad det är du har skrivit.

-------------

Vi backar tillbaka till ett litet teoriavsnitt.

Föreställ dig en cirkulär skiva med radie $r_2$ .

Denna skiva har då arean $\pi (r_2)^2$ .

Om nu denna skiva har ett cirkulärt hål med radie $r_1$ i mitten så är hålets area lika med $\pi (r_1)^2$ .

Det betyder att vår skiva har arean $A=\pi (r_2)^2-\pi (r_1)^2=\pi \cdot ((r_2)^2-(r_1)^2)$ .

Fråga 1: Är du med på att skivans area kan uttryckas så?

$r_2$ är det jag kallar yttre radie och $r_1$ är det jag kallar inre radie.

----------------

Nu kan vi gå tillbaka till din uppgift.

I intervallet $0\leq x\leq \frac{\pi }{4}$ så ligger grafen till y = cos(x) längre från rotationsaxeln (x-axeln) än grafen till y = sin(x).

Det betyder att när detta område roterar runt x-axeln så kommer grafen till y = cos(x) att utgöra den yttre radien $r_2$ och grafen till y = sin(x) kommer att utgöra den inre radien $r_1$ .

Alltså blir skivornas area i detta intervall

$A=\pi \cdot ((r_2)^2-(r_1)^2)=\pi \cdot (cos^2(x)-sin^2(x))$

Fråga 3: Är du med på detta?

I intervallet $\frac{\pi }{4}\leq x\leq \frac{\pi }{2}$ är det istället grafen till y = sin(x) som ligger längre bort från rotationsaxeln, så där blir det tvärtom.

Fråga 4: Är du med på detta?

Och så en sista kontrollfråga för att se om du har förstått hur området som roterar ser ut och hur rotationskroppen är uppbyggd:

Fråga 5: kan du rita en skiss över området som roterar där det även framgår hur det roterar (du kan utgå från min skiss här)?

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Nu förstår jag inte vad det är du har skrivit.
-------------
Vi backar tillbaka till ett litet teoriavsnitt.
Föreställ dig en cirkulär skiva med radie $r_2$ .
Denna skiva har då arean $\pi (r_2)^2$ .
Om nu denna skiva har ett cirkulärt hål med radie $r_1$ i mitten så är hålets area lika med $\pi (r_1)^2$ .
Det betyder att vår skiva har arean $A=\pi (r_2)^2-\pi (r_1)^2=\pi \cdot ((r_2)^2-(r_1)^2)$ .
Fråga 1: Är du med på att skivans area kan uttryckas så?
$r_2$ är det jag kallar yttre radie och $r_1$ är det jag kallar inre radie.
----------------
Nu kan vi gå tillbaka till din uppgift.
I intervallet $0\leq x\leq \frac{\pi }{4}$ så ligger grafen till y = cos(x) längre från rotationsaxeln (x-axeln) än grafen till y = sin(x).
Det betyder att när detta område roterar runt x-axeln så kommer grafen till y = cos(x) att utgöra den yttre radien $r_2$ och grafen till y = sin(x) kommer att utgöra den inre radien $r_1$ .
Alltså blir skivornas area i detta intervall
$A=\pi \cdot ((r_2)^2-(r_1)^2)=\pi \cdot (cos^2(x)-sin^2(x))$
Fråga 3: Är du med på detta?
I intervallet $\frac{\pi }{4}\leq x\leq \frac{\pi }{2}$ är det istället grafen till y = sin(x) som ligger längre bort från rotationsaxeln, så där blir det tvärtom.
Fråga 4: Är du med på detta?
Och så en sista kontrollfråga för att se om du har förstått hur området som roterar ser ut och hur rotationskroppen är uppbyggd:
Fråga 5: kan du rita en skiss över området som roterar där det även framgår hur det roterar (du kan utgå från min skiss här)?

1. ja men förstår inte varför vi räknar på area och inte volym?

2. ja

3. ja

4. ja

5.

Kan tänka mig något sånt kanske?

lamayo skrev:

1. ja men förstår inte varför vi räknar på area och inte volym?
2. ja
3. ja
4. ja
5.
Kan tänka mig något sånt kanske?

1. Eftersom en skivas volym är arean multiplicerat med tjockleken så börjar vi med att ta fram ett uttryck för arean.

5. Det är svårt att i din bild se vad som roterar och hur. Ett förslag är att du istället ritar rotationskroppen i genomskärning. Då ser den ut typ så här. Blått område är en skiva i genomskärning (inre radie $r_1$ , yttre radie $r_2$ ):

Det känns faktiskt som jag nu börjar förstå vad du menar. Jag ska alltså ta följande som på bilden? Eftersom att radien för delen motsvarar i ena faklet sinx-cosx och i andra fallet cosx-sinx och sedan sätta in det i volymen för en del. vid volymen är det för en bit och inte hela.

lamayo skrev:
Det känns faktiskt som jag nu börjar förstå vad du menar. Jag ska alltså ta följande som på bilden? Eftersom att radien för delen motsvarar i ena faklet sinx-cosx och i andra fallet cosx-sinx och sedan sätta in det i volymen för en del. vid volymen är det för en bit och inte hela.

Aha, du har blandat ihop sinus, och cosinusfunktionen.

Det upptäckte jag först nu när du skrev ut dessa i din figur.

Det är detta jag har tjatat om ett tag nu, att det är mycket enklare för oss att hjälpa dig och förstå var det går fel om du ritar figurer och beskriver dina tankegångar mer utförligt. Vi är jättedåliga på tankeläsning.

Sedan undrar jag varför du ritar skivorna horisontellt och varför du skriver dy istället för dx när rotationen sker runt x-axeln. och integrationsriktningen är i x-led.

---------------------------

Jag har ritat kladdat lite i din figur, korrigerat det där med sinus och cosinus samt ritat en skiva i genomskärning i magenta:

Yngve skrev:
lamayo skrev:
Det känns faktiskt som jag nu börjar förstå vad du menar. Jag ska alltså ta följande som på bilden? Eftersom att radien för delen motsvarar i ena faklet sinx-cosx och i andra fallet cosx-sinx och sedan sätta in det i volymen för en del. vid volymen är det för en bit och inte hela.
Aha, du har blandat ihop sinus, och cosinusfunktionen.
Det upptäckte jag först nu när du skrev ut dessa i din figur.
Det är detta jag har tjatat om ett tag nu, att det är mycket enklare för oss att hjälpa dig och förstå var det går fel om du ritar figurer och beskriver dina tankegångar mer utförligt. Vi är jättedåliga på tankeläsning.
Sedan undrar jag varför du ritar skivorna horisontellt och varför du skriver dy istället för dx när rotationen sker runt x-axeln. och integrationsriktningen är i x-led.
---------------------------
Jag har ritat kladdat lite i din figur, korrigerat det där med sinus och cosinus samt ritat en skiva i genomskärning i magenta:

juste, tvärtom ska det ju vara. Varför jag ritade in de horisontellt vet jag inte men förstår hur det blir som det är nu. Det blir alltså Vsegment1= pi(cos^2x-sin^2x)dx och Vsegment2=pi(sin^2x-cos^2x)dx?

lamayo skrev:

juste, tvärtom ska det ju vara. Varför jag ritade in de horisontellt vet jag inte men förstår hur det blir som det är nu. Det blir alltså Vsegment1= pi(cos^2x-sin^2x)dx och Vsegment2=pi(sin^2x-cos^2x)dx?

Om du hade varit uppmärksam när du läste mina tidigare svar så kanske du hade märkt att du och jag hade olika uppfattningar om vilken graf som hörde till sinus- respektive cosinusfunktionen.

Här får du ett par bra tips du kan använda dig av framöver:

1. Allt vi skriver har ett syfte och vi har oftast en plan för att försöka få dig att själv komma fram till lösningen.

Läs därför våra svar noga. Försök verkligen att förstå vad vi skriver. Om det är något du inte förstår - fråga!

2. Läs uppgiften noggrannt. Fundera. Rita. Fundera igen. Formulera de samband du ser. Testa dem. Fundera igen. Rita om vid behov.

3. Försök att påbörja en lösning. Hoppa inte över steg. Ta det steg för steg.

4. Beskriv för oss dina lösningsförsök med både bild och text. Beskriv hur du resonerar, vilka samband du ser och vad dina uträkningar avser.

--------

Om du följer dessa tips så tror jag att du kommer att få snabbare och bättre hjälp i dina trådar.

--------

Nu till din uppgift. Du tänker rätt men du skriver att Vsegment1 = pi(cos^2(x)-sin^2(x)).

Du borde istället skriva att arean Asegment1 = pi(cos^2(x)-sin^2(x)).

Och använd parenteser till sinus- och cosinusuttrycken så som jag gjorde här.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
juste, tvärtom ska det ju vara. Varför jag ritade in de horisontellt vet jag inte men förstår hur det blir som det är nu. Det blir alltså Vsegment1= pi(cos^2x-sin^2x)dx och Vsegment2=pi(sin^2x-cos^2x)dx?
Om du hade varit uppmärksam när du läste mina tidigare svar så kanske du hade märkt att du och jag hade olika uppfattningar om vilken graf som hörde till sinus- respektive cosinusfunktionen.
Här får du ett par bra tips du kan använda dig av framöver:
1. Allt vi skriver har ett syfte och vi har oftast en plan för att försöka få dig att själv komma fram till lösningen.
Läs därför våra svar noga. Försök verkligen att förstå vad vi skriver. Om det är något du inte förstår - fråga!
2. Läs uppgiften noggrannt. Fundera. Rita. Fundera igen. Formulera de samband du ser. Testa dem. Fundera igen. Rita om vid behov.
3. Försök att påbörja en lösning. Hoppa inte över steg. Ta det steg för steg.
4. Beskriv för oss dina lösningsförsök med både bild och text. Beskriv hur du resonerar, vilka samband du ser och vad dina uträkningar avser.
--------
Om du följer dessa tips så tror jag att du kommer att få snabbare och bättre hjälp i dina trådar.
--------
Nu till din uppgift. Du tänker rätt men du skriver att Vsegment1 = pi(cos^2(x)-sin^2(x)).
Du borde istället skriva att arean Asegment1 = pi(cos^2(x)-sin^2(x)).
Och använd parenteser till sinus- och cosinusuttrycken så som jag gjorde här.

okej, ska tänka på det

lamayo skrev:
okej, ska tänka på det

OK bra.

Din första rad med integralerna är fortfarande fel (samma fel som tidigare med omkastade sinus- och cosinus), men resten av uträkningen verkar stämna.

Pi v.e. är rätt svar.

Yngve skrev:
lamayo skrev:
okej, ska tänka på det
OK bra.
Din första rad med integralerna är fortfarande fel (samma fel som tidigare med omkastade sinus- och cosinus), men resten av uträkningen verkar stämna.
Pi v.e. är rätt svar.

Jag ska ändra det nu, tack för hjälpen!