Beräkna volymen

Ska det verkligen vara $x^y+z^2...$?

nej, det blev fel,

det ska vara $x^2+y^2\le 4xoch\left|\begin{array}{c}z\end{array}\right|\le x^2+y^2$

Projektionen i xy-plamet är x^2+y^2=4x. Det är en sluten kurva och den betyder en oändlig cylinder om z får vara hur stort som helst. Men locket på cylindern är ytan z=x^2+y^2 och botten är z=-(x^2+y^2).

Formeln för volymen $V={\iint }_D\left(f\right(x,y)-g(x,y\left)\right)dxdy$

jag har börjat med

V=${\iint }_D(\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2+y^2-4})dxdy$

Efter det tror jag nästa steg ska bli att göra om till polära koordinater.

x=rcos$\phi$

y=rsin$\phi$

Nej, varken locket eller  botten är det du har skrivit utan det jag skrev.

okej så om jag nu har projektionen $x^2+y^2=4x$ med locket $z=x^2+y^2$ och botten $z=-(x^2+y^2)$

Hur går man då vidare till nästa steg?

Dubbelintegralen av (locket -botten) blir volymen.

okej så ska det bli

${\iint }_D(x^2+y^2-(-x^2+y^2)dxdy$

Hej!

Du vill beräkna volymen till kroppen $K$ där

    $\displaystyle K = \{(x,y,z)\,:\,x^2+y^2\leq 4x\ , |z|\leq x^2+y^2\}\ .$

Volymen är lika med trippelintegralen

    $\displaystyle \iiint_{K}dxdydz.$

Albiki

Hej!

Kroppen antyder att cylinderkoordinater $(\rho,\alpha,z)$ skulle kunna vara användbara, där $x = 2 + \rho\cos\alpha$, $y = \rho\sin\alpha$ och $z = z$. Kroppen kan då skrivas

    $\displaystyle K'=\{ (\rho,\alpha,z) \,:\, 0\leq \rho \leq 2\ , |z| \leq 4 + \rho^2+4\rho\cos\alpha\}$

Differentialvolymelementet $dxdydz$ blir $\rho d\rho d\alpha dz$ och trippelintegralen kan skrivas

    $\displaystyle \iiint_{K'}\rho d\rho d\alpha dz = \int_{\rho=0}^{2}\left\{\int_{\alpha=0}^{2\pi}2\sqrt{4 + \rho^2+4\rho\cos\alpha}\,d\alpha\right\}\,d\rho$

Albiki

Nej, Jocke011, nu har du fått in ett minustecken för mycket. Rätta till det och gå sen över till polära.

Hej!

Trippelintegralen ska vara

    $\displaystyle \iiint_{K'}\rho\, d\rho d\alpha dz = \int_{\rho=0}^{2}\left\{2\sqrt{4+\rho^2+4\rho\cos\alpha}\right\}\rho \,d\rho.$

Albiki

Albikis senaste integral verkar vara relativt komplicerad. Möjligen något enklare blir:

Notera att villkoret $x^2 + y^2 \le 4x \iff (x-2{)}^2 + y^2 \le 4$, vilket beskriver en cirkel. Gränser för z är $\pm (x^2 + y^2) = \pm \left(\right(x-2{)}^2 + y^2 + 4(x-2) +4)$. I (förskjutna) cylindriska koordinater blir volymen nu 

$2{\int }_0^{2}d\rho {\int }_0^{2\pi }d\phi \left({\rho }^2 + 4 \rho \cos \left(\phi \right) +4\right)$

Hej!

Trippelintegralen ska vara

    $\displaystyle \iiint_{K'}\rho d\rho d\alpha dz = \int_{\rho=0}^{2}\left\{\int_{\alpha=0}^{2\pi}2(4+\rho^2+4\rho\cos\alpha)d\alpha\right\}\rho\,d\rho.$

Alla dessa uppdateringar hade varit onödiga om den nya Pluggakutens ägare hade tillåtit förhandsgranskning och hade kodat editorn så att redigering hade varit möjligt.

Albiki

Det går att editera en formel (åtminstone innan man har skickat inlägget, tror inte jag har försökt efteråt). Klicka på formeln så att det blir en fyrkant innan du år in i editorn igen.

Hej Pbadziag!

Tack för att du påpekade mitt misstag med kvadratroten; jag måste omedvetet ha läst olikheten som $z^2\leq x^2+y^2$. Jag tror att du har missat att inkludera ett $\rho$ från diferentialvolymelementet i dit uttryck av trippelintegralen.

Albiki

Albiki skrev :

Hej Pbadziag!

Tack för att du påpekade mitt misstag med kvadratroten; jag måste omedvetet ha läst olikheten som $z^2\leq x^2+y^2$. Jag tror att du har missat att inkludera ett $\rho$ från diferentialvolymelementet i dit uttryck av trippelintegralen.

Albiki

Det stämmer

Hej Smaragdalena!

Tack för tipset! Det ska jag prova.

Hur fick du reda på att man kan göra så?

Finns det någon sida där man kan läsa hur editorn fungerar?

Albiki

Jag tror att någon admin påsvarade det i någon av gnäll-trådarna Om Pluggakuten. Jag har bara provat det på uttryck där jag använt formelskrivaren för att skapa uttrycket - jag har aldrig fått det att fungera med att skriva direkt i LATEX sedan bytet, x^2 blir fortfarande x^2 trots dubbla dollartecken.

Det finns en manual till formelskrivaren, länk längst ner till höger i formelskrivarfönstret. Jag har hlyckats hitta något jag behövde veta där minst en gång.

Henrik Eriksson skrev :

Nej, Jocke011, nu har du fått in ett minustecken för mycket. Rätta till det och gå sen över till polära.

 okej så, ${\iint }_D(x^2+y^2-(x^2+y^2)dxdy$ går jag sedan över till polära

x=rcos$\phi$

y=$r\sin \phi$

 ${\iint }_E\left(\right(r\cos \phi {)}^2+(r\sin \phi {)}^2-((r\cos \phi {)}^2+(r\sin \phi {)}^2)$drd$\phi$

Men nu har du fel på minustecknet igen. Nu står det 0 i integranden!

Jag är tyvärr fortfarande inte med på hur man ska beräkna volymen i detta fall.

Jag är med tills man ska beräkna ${\int }_{\rho =0}^2\left({\int }_{\alpha =0}^{2\pi }2\right(4+{\rho }^2+4\rho \cos \alpha \left)d\alpha \right)\rho d\rho$ där är jag inte med på hur man ska gå tillväga.

feltänkt

ja det är här jag känner att jag har fastnat tyvärr.

Albiki skrev :

Hej!

Trippelintegralen ska vara

    $\displaystyle \iiint_{K'}\rho d\rho d\alpha dz = \int_{\rho=0}^{2}\left\{\int_{\alpha=0}^{2\pi}2(4+\rho^2+4\rho\cos\alpha)d\alpha\right\}\rho\,d\rho.$

Alla dessa uppdateringar hade varit onödiga om den nya Pluggakutens ägare hade tillåtit förhandsgranskning och hade kodat editorn så att redigering hade varit möjligt.

Albiki

Hej!

Du ska beräkna dubbelintegralen

     $\displaystyle \int_{\rho=0}^{2}\left\{\int_{\alpha=0}^{2\pi}8\rho+2\rho^3\,d\alpha\right\}\,d\rho + \int_{\rho=0}^{2}\left\{\int_{\alpha=0}^{2\pi}8\rho^2\cos\alpha\,d\alpha\right\}\,d\rho$.

Albiki

okej, men jag får det inte att komma till svaret $48\pi$ så någonstans blir det fel.

Jag ser ju att den primitiva funktionen till 8$\rho$ blir $4{\rho }^2$ och $2{\rho }^{3}blir\frac{1}{2}{\rho }^4$

$8{\rho }^{3}blir2{\rho }^4$ och $\cos \alpha blir\sin \alpha$

Det här är mycket enklare än du tror (när du nu har kommit så här långt), eftersom så mycket kan hanteras som konstanter. När du integrerar m a p alfa är rho en konstant.

Hela den högra halvan blir 0, eftersom integralen av en trigonometrisk funktion över ett helt varv blir 0. I den inre integralen i den vänstra halvan kan du bryta ut så att du bara har kvar en etta som integrand, såden integralen blir $2\mathrm{\pi }(8\mathrm{\rho }+2{\mathrm{\rho }}^3)$och det har du ju visat att du kan integrera m a m p. Sätt in integrationsgränserna 0 och 2 så blir det rätt svar.

Okej så jag får $2\pi (4{\rho }^2+\frac{1}{2}\times 2{\pi }^4)\Rightarrow {{\left|\begin{array}{cc}4\times 2{\pi }^2+& \frac{1}{2}\times 2{\pi }^4\end{array}\right|}^2}_0\Rightarrow {{\left|\begin{array}{c}24\pi \end{array}\right|}_0}^2\Rightarrow 2\left(24\pi \right)=48\pi$

Är det rätt uträknat?

Verkar stämma, men varför har du inte multiplicerat ihop ½*2?

Albiki skrev :

Hej!

Du ska beräkna dubbelintegralen

     $\displaystyle \int_{\rho=0}^{2}\left\{\int_{\alpha=0}^{2\pi}8\rho+2\rho^3\,d\alpha\right\}\,d\rho + \int_{\rho=0}^{2}\left\{\int_{\alpha=0}^{2\pi}8\rho^2\cos\alpha\,d\alpha\right\}\,d\rho$.

Albiki

 Hej!

Den första dubbelintegralen blir $\displaystyle 2\pi\int_{\rho=0}^{2}(8\rho+2\rho^3)\,d\rho = 48\pi$.

Albiki

Hej!

Den andra dubbelintegralen blir

    $\displaystyle \left(\int_{\rho=0}^{2}8\rho^2\,d\rho\right)\cdot \left(\int_{\alpha=0}^{2\pi}\cos\alpha\,d\alpha\right) = 0$.

Albiki

Hej!

Volymen av kroppen $K = \{(x,y,z)\,:\,x^2+y^2\leq 4x \text{ och } |z| \leq x^2+y^2\}$ är (efter mycket om och men) lika med $48\pi$.

Albiki

Jag bumpar denna tråd eftersom jag har problem med samma uppgift. Jag hoppas detta är ok.

Jag löser uppgiften på samma sätt som föreslås här i tråden, och får volymen till att bli 48*pi.

Det jag undrar är dock följande: Eftersom vi per definition räknar volym som negativ om denna är befunnen under xy-planet och positiv annars, så tänker jag att volymen i detta fall borde bli noll eftersom kroppen ju är symmetrisk på båda sidor om xy-planet. Hur ska man resonera i detta fall? Varför räknar vi inte volymen med tecken i denna uppgift? Denna fråga kanske kan verka något banal. Uppenbarligen har ju kroppen en volym. Men samtidigt så har vi definierat "negativ" volym på sättet jag skrev ovan. Tacksam för svar!

Mvh