1 svar
23 visningar
Dani163 är nöjd med hjälpen
Dani163 1009
Postad: 3 mar 19:20 Redigerad: 3 mar 19:25

Beräkning av arean hos område inneslutet av två kurvor

Jag har arbetat med en uppgift där jag ska bestämma för vilket värde av c>0c>0 är arean av området inneslutet av kurvorna y=c-2x2y=c-2 x^2 och y=2x2-cy=2 x^2-c lika med 163\frac{16}{3}. Jag har följt den föreslagna lösningen men fastnar vid ett visst steg där uträkningen inte direkt är intuitiv för mig.

Uppgiften lyder som följer:

"För vilket värde av c>0c>0 är arean av området inneslutet av kurvorna y=c-2x2y=c-2 x^2 och y=2x2-cy=2 x^2-c lika med 163\frac{16}{3}?"

Det ges att kurvorna skär varandra där c-2x2=2x2-cc-2 x^2=2 x^2-c, vilket ger x=±c2x= \pm \sqrt{\frac{c}{2}}. Vidare ges arean A(c)A(c) innesluten av kurvorna för ett givet värde på cc av:A(c)=4cx-23x30c2=4cc2-83c232A(c) = 4\left[c x-\frac{2}{3} x^3\right]_0^{\sqrt{\frac{c}{2}}} = 4 c \sqrt{\frac{c}{2}}-\frac{8}{3}\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{3}{2}}

Slutligen konstateras att detta är lika med:

423c32\frac{4 \sqrt{2}}{3} c^{\frac{3}{2}}

När jag försöker följa uträkningen i detalj, ser jag att vi har:

4cc2-83c2324 c \sqrt{\frac{c}{2}} - \frac{8}{3}\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{3}{2}}

Men jag har svårt att se hur detta förenklas till:

423c32\frac{4 \sqrt{2}}{3} c^{\frac{3}{2}}

Mitt försök att lösa detta ledde mig till en förvirring kring förenklingen av termerna och hur exakt denna likhet uppnås. Såhär har jag räknat:

4cc24 c \sqrt{\frac{c}{2}}

Vi kan skriva om c2\sqrt{\frac{c}{2}} som c212\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{1}{2}}, vilket ger oss:

4cc2124 c\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{1}{2}}

Detta kan sedan förenklas genom att kombinera exponenterna ( c1c^1 och c12c^{\frac{1}{2}} ):

4·c1+12212=4·c322=4·c32·22=22·c324 \cdot \frac{c^{1+\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}=4 \cdot \frac{c^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{2}}=4 \cdot c^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2 \sqrt{2} \cdot c^{\frac{3}{2}}

För andra termen:

-83c232-\frac{8}{3}\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{3}{2}}

Här kan vi direkt se att c232\left(\frac{c}{2}\right)^{\frac{3}{2}} är c32c^{\frac{3}{2}} multiplicerat med 1232\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}

-83·c32·1232=-83·c32·122-\frac{8}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{2}}=-\frac{8}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}}

Förenklar ytterligare:

-83·122·c32=-423·c32-\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot c^{\frac{3}{2}}=-\frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}}

Kombinerar man termerna sedan får man:

22·c32-423·c322 \sqrt{2} \cdot c^{\frac{3}{2}}-\frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}}

Vi kan faktorisera ut c32c^{\frac{3}{2}} och kombinera koefficienterna:

22-423·c32\left(2 \sqrt{2}-\frac{4 \sqrt{2}}{3}\right) \cdot c^{\frac{3}{2}}

För att kombinera de två termerna, gör vi dem över en gemensam nämnare:

623-423·c32=223·c32\left(\frac{6 \sqrt{2}}{3}-\frac{4 \sqrt{2}}{3}\right) \cdot c^{\frac{3}{2}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot c^{\frac{3}{2}}

 

Trinity2 1294
Postad: 3 mar 19:35

Svara Avbryt
Close