Beräkning av konturintegral - Olika "grenar" av funktioner

Halloj! (Frågan är längst ned, det mesta av mitt inlägg är bara bakgrund som kanske inte är jätterelevant?)

För några dagar sedan stötte jag på frågan att beräkna

$\displaystyle I=\int\limits_0^\infty{\frac{x^k}{(x^2+1)^2}}dx$, $-1<k<3$

med en konturintegral. (Från boken Inside Interesting Integrals)


Konturen $C$ som jag använder ser ut såhär (moturs):
Denna kan då delar upp i 4 delar: 

$C_1$ (grön) är (nästan) en cirkel med radie $R$. Punkten där den börjar bildar vinkeln $\alpha$ med den reella axeln. 
$C_2$ (röd) samma som $C_1$ fast cirkeln har radien $\epsilon$
$C_3$ (blå) är en rät linje som kan beskrivas av alla punkterna på formen $t e^{i\alpha}$, där $t \in [\epsilon, R]$. 
$C_4$ (lila) är samma som $C_3$ fast vinkeln är istället $2\pi-\alpha$ 

Konturintegralen

$\displaystyle \oint_C{\frac{e^{k\ln z}}{(z^2+1)^2}}dz$ kan då delar upp i 4 delar över respektive linje. 

Med lite arbete får man fram att integralerna över $C_1$ och $C_2$ går mot 0 när $R\to \infty$, $\epsilon \to 0$, $\alpha \to 0$. 

Sedan har vi för $C_3$, som kan skrivas om såhär:

$\displaystyle \int_{C_3}=\int\limits_\epsilon^R{\frac{e^{k\ln(z) + ki\alpha}}{(z^2e^{2i\alpha}+1)^2}dz} \stackrel{\stackrel{\alpha\to 0}{\stackrel{\epsilon\to 0}{R\to \infty}}}{=} \int\limits_0^\infty{\frac{e^{k\ln z}}{(z^2+1)^2}}dz = I$

Efter alla gränsvärden går alltså denna integral går mot $I$, som vi söker. 

För $C_4$: 

$\displaystyle \int_{C_4}=\int\limits_R^\epsilon{\frac{e^{k\ln(z) + ki(2\pi- \alpha)}}{(z^2e^{2i(2\pi-\alpha)}+1)^2}dz} \stackrel{\stackrel{\alpha\to 0}{\stackrel{\epsilon\to 0}{R\to \infty}}}{=} \int\limits_\infty^0{\frac{e^{k\ln(z)}e^{2\pi i k}}{(z^2+1)^2}dz} =-e^{2\pi i k}I$

Vi har då att

$\displaystyle \oint_C{\frac{e^{k\ln z}}{(z^2+1)^2}}dz = I\left(1-e^{2\pi i k}\right)$

Då kan vi beräkna integralen med residysatsen.

$\displaystyle \oint_C{\frac{e^{k\ln z}}{(z^2+1)^2}}dz = 2\pi i\left(\stackrel{\operatorname{Res}}{z = i} + \stackrel{\operatorname{Res}}{z = -i}\right) = \dots = \frac{\pi}{2}\left(1-k\right)\left(i^{k}-\left(-i\right)^{k}\right)$

Alltså är $\displaystyle I = \frac{\frac{\pi}{2}\left(1-k\right)\left(i^{k}-\left(-i\right)^{k}\right)}{1-e^{2\pi i k}}$

Men här finns det lite problem. Nämnaren är ett komplext-tal som förmodligen inte kommer ha realdel 0. 
Men om man beräknar $i^k - (-i)^k$:

$\displaystyle i^k - \left(-i\right)^k = e^{\frac{\pi i k}2}- e^{\frac{-\pi i k}{2}} = 2i \sin\left(\frac{\pi k}2\right)$

ett rent imaginärt tal. Då kommer kvoten mellan täljaren och nämnaren förmodligen vara icke-reellt, men $I \in R$
Däremot, om man använder istället att $-i = e^{\frac{3\pi i}2}$ får man att 

$\displaystyle i^k - \left(-i\right)^k = e^{\frac{\pi i k}2}- e^{\frac{3\pi i k}{2}} = e^{\pi i k}\left(e^{-\frac{\pi ik}2}-e^{\frac{\pi i k}2}\right) = -2ie^{\pi i k}\sin\left(\frac {\pi k}2\right)$

Om man sätter in detta får kommer alltid bli ett reellt tal som också är det korrekta värdet på integralen. Jag förstår att $i^k$ kommer ge olika värden beroende på vilken vinkel man väljer i exponenten av $e$, men det jag inte ser är varför just $\frac{3\pi i}2$ är den korrekta i detta fall. Jag gillar att använda vinklar mellan $-\pi$ och $\pi$, vilket inte gav ett reellt tal i detta fall.

Är det eftersom när vi tog konturen lät vi $C_1$, $C_2$ ta vinklar mellan $\alpha$ och $2\pi - \alpha$? Har vi då typ "valt" grenen $[0, 2\pi]$ för vinklar? Just detta med olika grenar och "branch cuts" har jag inte god koll på.