Beräkning av positiva delade

Jag skulle först primtalsfaktorisera talet enligt $210 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$. 

En delare till talet måste innehålla några av dessa faktorer.

Vi kan nu räkna hur många olika delare det finns på följande sätt. För varje primtalsfaktor väljer vi antingen att ta med faktorn i vår delare eller inte. Om vi väljer att ta med exempelvis 2 och 5, men inte 3 eller 7, så skulle det motsvara delaren 10. Om vi istället endast väljer att ta med 3, 5 och 7 men inte 2, så motsvarar det delaren 105.

Man inser snart att det då finns $2^4 = 16$ olika möjligheter som ger alla möjliga olika delare. Att inte välja någon av faktorerna kan vi tänka motsvarar delaren 1.

Jag skulle säga 14, men det kanske är en definitionsfråga.

Trinity2 skrev:

Jag skulle säga 14, men det kanske är en definitionsfråga.

Menar du exklusive 1 och talet självt? Jag tror man brukar räkna med dessa. Kanske kan man säga att det finns 14 icke-triviala delare eller något i den stilen.

Gustor skrev:

Trinity2 skrev:

Jag skulle säga 14, men det kanske är en definitionsfråga.

Menar du exklusive 1 och talet självt? Jag tror man brukar räkna med dessa. Kanske kan man säga att det finns 14 icke-triviala delare eller något i den stilen.

Så tänkte jag. Blandar man in 1 (och talet självt) blir det ofta "rundgång" till slut. Man kan skriva

210 = 1*2*3*5*7 

och får då 5 positioner i din utmärkta lösning och då kan man lätt yra in på att man har 2^5 delare, där "10000" är talet 1 och "11111" talet 210.

Jag anar att facit anger (4 1)+(4 2)+(4 3)=14 som lösning, men det verkar konstigt då TS anger att kombinatorik kommer först senare.

Facit: 16 delare (2^4). Är det en metod som alltid kan användas? Dvs. om talet har 4 primtalsfaktorer så är dess positiva delade 2^4 st. Ett annat tal x med 7 primtalsfaktorer har då 2^7 st positiva delade? Går det att bevisa metoden?

Det beror på om primtalen är unika. Talet 4 har 2 primtalsfaktorer (2 och 2) och om man försöker skapa delare genom att för varje faktor välja om just den faktorn skall ingå i delaren kommer man få två val á två alternativ (INGÅ respektive INTE INGÅ) vilket ger 2²=4. Detta stämmer dock inte; låter vi första tvåan ingå men inte den andra får vi samma delare som om vi låter andra tvåan ingå men inte den första. I verkligheten finns det ju (enligt hur som facit måste resonera) 3 delare: 1, 2 och 4.

Ok, så vilken metod anser du lämpligast om vi ej gått igenom kombinatorik än?

Trinity2 skrev:

Gustor skrev:

Visa föregående citat

Trinity2 skrev:

Jag skulle säga 14, men det kanske är en definitionsfråga.

Menar du exklusive 1 och talet självt? Jag tror man brukar räkna med dessa. Kanske kan man säga att det finns 14 icke-triviala delare eller något i den stilen.

Så tänkte jag. Blandar man in 1 (och talet självt) blir det ofta "rundgång" till slut. Man kan skriva

210 = 1*2*3*5*7 

och får då 5 positioner i din utmärkta lösning och då kan man lätt yra in på att man har 2^5 delare, där "10000" är talet 1 och "11111" talet 210.

Jag anar att facit anger (4 1)+(4 2)+(4 3)=14 som lösning, men det verkar konstigt då TS anger att kombinatorik kommer först senare.

Förstår inte riktigt....

Anonym_15 skrev:

Facit: 16 delare (2^4). Är det en metod som alltid kan användas? Dvs. om talet har 4 primtalsfaktorer så är dess positiva delade 2^4 st. Ett annat tal x med 7 primtalsfaktorer har då 2^7 st positiva delade? Går det att bevisa metoden?

Det generella är att om ett tal faktoriseras som 

$p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$

(alltså $n_i$ är exponenterna och $p_i$ är talets primtalsfaktorer), så ges antalet delare av

Anonym_15 skrev:

Ok, så vilken metod anser du lämpligast om vi ej gått igenom kombinatorik än?

Det är det som är grejen med kombinatorik: det finns generaliserade formler man kan använda men det finns alltid undantagsfall som gör att de generella fallen måste anpassas till rådande omständigheter. I rätt många uppgifter är den huvudsakliga utmaningen egentligen att formulera problemet på ett sätt som gör att man kan använda de generaliserade formlerna.

Och eftersom ni inte har fått lära er kombinatorik än så gissar jag att du får titta på primtalsfaktorerna och från det försöka klura ut hur många sätt som du kan bilda sammansatta tal med hjälp av dina primtalsfaktorer.

Den metod jag förespråkar är den Gustor nämnde fast med en modifikation: om någon primtalsfaktor förekommer flera gånger så får vi istället för att besvara frågan "skall denna primtalsfaktor ingå i vår delare?" istället besvara frågan "hur många exemplar av denna primtalsfaktor skall ingå i vår delare?". Förekommer t.ex. primtalsfaktorn 2 två gånger får vi då tre möjliga svar: 0 EX, 1 EX och 2 EX.

EDIT: Jag ser nu att detta var postat under Matte 5, dvs. kursen där kombinatorik ingår. Då var min gissning om hur det är tänkt att du skall jobba fel.

Tack! Kombinatorik är dock nästa kapitel så antar att jag ändå måste göra som du säger: "Och eftersom ni inte har fått lära er kombinatorik än så gissar jag att du får titta på primtalsfaktorerna och från det försöka klura ut hur många sätt som du kan bilda sammansatta tal med hjälp av dina primtalsfaktorer."

Det var detta jag helst vill undvika eftersom det är väldigt tidskrävande.