Beräkning av rotationsarea

Du kan dela upp integralen i två delar:

$\displaystyle 2\pi\int\limits_{-R}^R 2R\sqrt{1+ \frac{x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}}dx - 2\pi\int\limits_{-R}^R{x\sqrt{1+ \frac{x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}}}dx$

Notera nu att integrandet i den andra integralen är udda. Om man integrerar en udda funktion över ett intervall från -a till a är integralens värde 0 för alla $a$ (där integralen konvergerar förstås). (Varför?)

Alltså kommer volymen enbart beskrivas av

$\displaystyle 2\pi\int\limits_{-R}^R 2R\sqrt{1+ \frac{x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}}dx=4\pi R\int\limits_{-R}^R \sqrt{1+ \frac{x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}}dx$

Här ser jag inte heller något sätt att ta mig fram dock. Jag tror inte denna integral har en elementär antiderivata (Mathematica returnerar inte en och jag ser inte någon strategi som skulle leda framåt, inte ens för den bestämda integralen).

Är du säker på att rotuttrycket innanför roten faktiskt ska vara där? Alltså att det kanske ska vara
$\frac{x^2}{R^2-x^2}$. Om detta stämmer går integralen att lösa. 

du har rätt, jag har har ju kvadrerat bråket och då ska rotuttrycket försvinna. Har du något tips på hur man lätt ser att en funktion är udda? 

Blexan skrev:

du har rätt, jag har har ju kvadrerat bråket och då ska rotuttrycket försvinna. Har du något tips på hur man lätt ser att en funktion är udda? 

Udda funktioner har ju egenskapen att $f(-x) = -f(x)$

Det är nog något man bara "ser" efter ett tag. När jag kollade på funktionen ovan såg jag en massa kvadrater, så där spelar minustecknet ingen roll, men sedan såg jag $x$- termen. I detta fall spelar tecknet ingen roll för de alla $x$-termer FÖRUTOM termen precis utanför roten. Det är inte ovanligt att se udda funktioner med detta utseende.

Sedan är det väl också värt att nämna att utan rotuttrycket är den integralen också rimlig att lösa. Man behöver inte se att funktionen är udda. Dock tar det bort en massa arbete!