Bestäm a för sammanhängande graf

Dkcre skrev:

[...]

Jag förstår inte riktigt hur man ska tolka frågan här. Aldrig sett det där sättet att beskriva en funktion på förut. X ska vara större eller lika med 0 för cos(x) men mindre än 0 för x+a..

Nej det ska tolkas "tvärtom".

Dvs att $f(x) = x+a$ då $x < 0$ och att $f(x)=\cos(x)$ då $x\geq0$

Nej jag fattar inte riktigt. Är det en rak linje och en cosinus funktion som ska.. harmonisera och liksom mötas tangent i en punkt?

Ja, det stämmer.

Om vi säger att man åker på en rak linje, ett räls, sedan kommer till en Tangeringspunkt med cosx och sedan så åker vidare på cosinus funktionen istället. Ja, något sånt XD 

Bra formulerat!

Jag fattar inte riktigt ändå.. kan funktionen växla beteende beroende på värdet på X?

Men dom har ju redan skrivit ut att X=0 så det är fastställt, alltså är cosx = 1 vid X=0.

Men den första funktionen har inte ett intervall som tillåter att x är 0.

∆∆∆

Kollade facit för den här för känner att jag inte förstår vad jag ska göra. Fast jag förstår ändå inte. A=1 och det går inte att skapa en tangent punkt på grund utav att derivatan är annorlunda för cosx och är tydligen 1 när x är < 0.

Om grafen är sammanhängande eller inte handlar om funktionens gränsvärde då x går mot 0.

Om gränsvärdet från vänster är samma som gränsvärdet från höger så är grafen sammanhängande.

Här är en illustration.

Blir det tydligare då?

Lite, men jag förstår inte hur funktionen x+a där x<0 bildar en linje som är vinklad 45° riktigt. Sen är ju X<0, och om facit anser att a=1 är rätt svar så måste x kunna bli =0.

Annars kommer det alltid att ligga strax under 1. Så intervallet borde väl vara x<=0..

Dkcre skrev:

Lite, men jag förstår inte hur funktionen x+a där x<0 bildar en linje som är vinklad 45° riktigt.

Är du med på att

• linjen y = x+a har riktningskoefficienten 1?

• en linje som har riktningskoefficienten 1 bildar vinkeln 45° med x-axeln?

Om inte, rita t.ex. linjen y = x+1 och se vilken vinkel den bildar mot x-axeln.

Sen är ju X<0, och om facit anser att a=1 är rätt svar så måste x kunna bli =0.

Annars kommer det alltid att ligga strax under 1. Så intervallet borde väl vara x<=0..

Det handlar om gränsvärden. Det gäller att $\lim_{x\rightarrow0} (x+1)=1$.

Det gäller alltså att för ett x-värde som är godtyckligt nära 0 så kommer uttrycket x+1 att vara godtyckligt nära 1.

Och det är OK att intervallet är x < 0, för när x blir lika med 0 så tar cos(x) "över".

Yngve skrev:

Dkcre skrev:

Lite, men jag förstår inte hur funktionen x+a där x<0 bildar en linje som är vinklad 45° riktigt.

Är du med på att

• linjen y = x+a har riktningskoefficienten 1?

• en linje som har riktningskoefficienten 1 bildar vinkeln 45° med x-axeln?

Om inte, rita t.ex. linjen y = x+1 och se vilken vinkel den bildar mot x-axeln.

Sen är ju X<0, och om facit anser att a=1 är rätt svar så måste x kunna bli =0.

Annars kommer det alltid att ligga strax under 1. Så intervallet borde väl vara x<=0..

Det handlar om gränsvärden. Det gäller att $\lim_{x\rightarrow0} (x+1)=1$.

Det gäller alltså att för ett x-värde som är godtyckligt nära 0 så kommer uttrycket x+1 att vara godtyckligt nära 1.

Och det är OK att intervallet är x < 0, för när x blir lika med 0 så tar cos(x) "över".

Oj, nej jag var inte med på det faktiskt 😅 pinsamt. A värdet förflyttar bara linjen men den har samma lutning i alla fall, så blir det ju. Ritade i desmos här.

Och jag förstår det med gränsvärdet. Tycker att det är en aning ointuitivt men förstår. Sen om båda skulle kunna vara 0 samtidigt så vore väl det ännu konstigare, egentligen.

Dkcre skrev:

Oj, nej jag var inte med på det faktiskt 😅 pinsamt.

Nej, det är inte alls pinsamt.

A värdet förflyttar bara linjen men den har samma lutning i alla fall, så blir det ju. Ritade i desmos här.

Ja, a-värdet förskjuter bara linjen i vertikal led, men ändrar inte lutningen.

Och jag förstår det med gränsvärdet.

Tycker att det är en aning ointuitivt men förstår.

Bra.

Sen om båda skulle kunna vara 0 samtidigt så vore väl det ännu konstigare, egentligen.

Bra att tänka på här att f är en enda funktion som är definierad på just det sättet som anges. Funktionen f är alltså definierad för alla värden på x.

I intervallet $x < 0$ så har funktionen utseendet x+a och i intervallet $x\geq0$ så har den utseendet cos(x).

Du har rätt i att intervallen inte skulle kunna vara $x\leq0$ och $x\geq0$.

Men kan du komma på ett skäl till varför det inte kan vara så?

Jo, just det. Och inte två funktioner som möts.

Ett skäl till.. det skulle inte gå att definera en derivata vid X0? Eller det skulle bli motsägelsefullt? Om nu det betyder någonting.. Annars kommer jag inte på någonting.

Dkcre skrev:

Jo, just det. Och inte två funktioner som möts.

Just det.

Ett skäl till.. det skulle inte gå att definera en derivata vid X0? Eller det skulle bli motsägelsefullt? Om nu det betyder någonting.. Annars kommer jag inte på någonting.

Orsaken till att intervallen inte kan vara överlappande är att f då skulle kunna ge två olika värden vid x = 0, nämligen f(0) = 0+a = a och f(0) = cos(0) = 1.

Det betyder att avbildningen f inte skulle vara injektiv, vilket betyder att f inte är någon funktion.

Du kan läsa mer om detta här.

Okej, tack. Kollar.