Bestäm a så att ekvationssystemet får entydig lösning

Entydig lösning innebär att det bara finns en enda lösning för respektive a du hittat. 

Det kan vara att jag misstolkar din fråga.

Kanske var lite otydlig, men frågan är ”bestäm a så att ekvationssystemet får en entydig lösning” och svaret i facit är ”Entydig lösning så snart a=\=2 och a =\=-1.”

jag löste ut matrisen och fattar varför a inte kan vara 2 och -1, men jag fattar inte hur man vet att alla andra a ger entydiga svar?

Det enklaste sättet är väl att titta på determinanten. Om vi kallar koefficientmatrisen för $A$ så är

$\det A = a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$,

och systemet har en unik lösning så länge $\det A \neq 0$, vilket gäller då $a\neq 2$ och $a\neq -1$.

Ett annat sätt utan att använda determinanter är att undersöka proportionerna hos koefficienterna. För att ett linjärt ekvationssystem ska ha en unik lösning räcker det att 

$\frac{a-1}{2} \neq \frac{1}{a}$,

där vi tagit koefficienten framför $x$ i första ekvationen delat med koefficienten framför $x$ i den andra ekvationen, och jämför med koefficienten framför $y$ i första ekvationen delat med koefficienten framför $y$ i andra ekvationen. Om dessa proportioner är lika betyder det geometriskt att de två linjerna som ekvationerna beskriver har samma lutning (och vi får alltså inga eller oändligt många lösningar).

Vi har att 

$\frac{a-1}{2} = \frac{1}{a} \iff a(a-1) = 2 \iff a^2 - a - 2 = 0 \iff a=2,\text{ eller } a=-1$.

För alla andra värden på $a$ har linjerna alltså olika lutning och vi kommer alltid få en unik skärningspunkt (lösning) till systemet.