Bestäm (a) så f(x)=4x+(a^2)/x får minipunkten x=2

Vad definierar en minimipunkt? 

Smutstvätt skrev:

Vad definierar en minimipunkt? 

Har du tänkt själv först? 

Hur är det med derivatan i en extrempunkt?

Jo jag har deriverat uttrycket och satt f(x)=0. f'(x)=4-a^2/x^2

0=4-a^2/x^2....

Menar du att jag ska ersätta x i denna ekvation med 2?

AllskogAdam skrev:

Jo jag har deriverat uttrycket och satt f(x)=0. f'(x)=4-a^2/x^2

0=4-a^2/x^2....

Menar du att jag ska ersätta x i denna ekvation med 2?

Ja, vi vill att f'(2) ska vara lika med 0.

Det ger ett villkor på a.

Och sedan vill vi verifiera att detta verkligen är en minimipunkt.

Hej! Jag har försökt lösa denna uppgift nu (finns inget facit) och jag har kommit fram till att a=0,5. Stämmer det?

Nej det stämmer inte.

Visa dina uträkningar så hjälper vi dig att hitta felet.

Okej, nu räknade jag igen men fick annat svar än tidigare:

f(x)=4x+(a²/x) 

f'(x)=4-(a²/x²)

Extrempunkt fås av f'(x)=0

0=4-(a²/x²) ---> 4=a²/x² ---> 4x²=a² ---> x²=(a²/4) ---> x₁= a/2   x₂= -a/2

För att avgöra vilket x som är minimum använder jag andraderivatan, värdet måste bli positivt för att det ska vara ett minimum.

f''(x)= 2a²/x³ ---> f''(a/2)=128/a  (detta är positivt och därför är x=a/2 minimi)

2=a/2 ---> a=4

Stämmer det nu?

Att funktionen har en minimipunkt vid x = a/2 stämmer och det stämmer att a blir 4.

Det enda felet är vid beräkningen av andraderivatan.

Vi har att $f''(a/2)=2a^2/(a/2)^3=2a^2/(a^3/8)=16/a$

Problemet nu är att du då ännu inte visste huruvida $a$ var positivt eller inte.

Yngve skrev:

Att funktionen har en minimipunkt vid x = a/2 stämmer och det stämmer att a blir 4.

Det enda felet är vid beräkningen av andraderivatan.

Vi har att $f''(a/2)=2a^2/(a/2)^3=2a^2/(a^3/8)=16/a$

Problemet nu är att du då ännu inte visste huruvida $a$ var positivt eller inte.

Oj, det blev ett misstag från min sida men vad konstigt att det ändå gav rätt svar trots att det blev fel i f''(x). Men vad menar du med att det ännu inte är bevisat om det var positivt eller inte? Hade man valt -a/2 skulle väl f''(-a/2) blivit negativt i och med att det i nämnaren för f''(x) finns x³ vilket ger ett negativt värde?

Nej det stämmer inte.

Om a > 0 så är

• f''(a/2) = 16/a > 0 och
• f''(-a/2) = 16/(-a) < 0.

Men om a < 0 så är

• f''(a/2) = 16/a < 0 och
• f''(-a/2) = 16/(-a) > 0.

Det är alltså inte så att f''(a/2) alltid är positiv och f''(-a/2) alltid är negativ.