bestäm alla asymptoter (envariabelanalys)

Sneda asymptoter kan identifieras genom att lösa ekvationen$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-(ax+b)\right)=0$ för något a och något b. Vi provar: $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\left(x-2\arctan x\right)-\left(ax+b\right)\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x(1-a)-2\arctan x-b\right)$. Från det kan vi läsa att a måste vara lika med 1. Då ska vi alltså hitta ett b sådant att $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(2\arctan x-b\right)=0$. Eftersom $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(2\arctan x\right)=2\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\mathrm{\pi }$ kan vi sätta $b=\mathrm{\pi }$.

Gör nu samma sak för när x går mot $-\infty$. :)

EDIT: Kommentar, om vi inte hittar något a och b så att $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-(ax+b)\right)=0$, finns ingen sned asymptot. Sneda asymptoter dyker oftast upp när polynom finns med i frågan, och framförallt hos rationella uttryck på formen $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$, där täljarens grad är ett högre än nämnarens. :)

Smutstvätt skrev:

Sneda asymptoter kan identifieras genom att lösa ekvationen$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-(ax+b)\right)=0$ för något a och något b. Vi provar: $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\left(x-2\arctan x\right)-\left(ax+b\right)\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x(1-a)-2\arctan x-b\right)$. Från det kan vi läsa att a måste vara lika med 1. Då ska vi alltså hitta ett b sådant att $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(2\arctan x-b\right)=0$. Eftersom $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(2\arctan x\right)=2\frac{\mathrm{\pi }}{2}=\mathrm{\pi }$ kan vi sätta $b=\mathrm{\pi }$.

 

Gör nu samma sak för när x går mot $-\infty$. :)

 

EDIT: Kommentar, om vi inte hittar något a och b så att $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-(ax+b)\right)=0$, finns ingen sned asymptot. Sneda asymptoter dyker oftast upp när polynom finns med i frågan, och framförallt hos rationella uttryck på formen $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$, där täljarens grad är ett högre än nämnarens. :)

aa okej okej men undrar varför du skrev om HL sådär och varför måste a = 1, för att uppfylla vadå?

Hej,

Om $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ existerar och är lika med $k$ så har $f$ en sned asymptot med lutning $k$ för $x \to \infty.$

Om det är konstaterat att $f$ har en sned asymptot för $x\to\infty$ så fås asymptotens y-intercept som gränsvärdet $\lim_{x\to\infty} (f(x)-kx).$

På samma sätt finner man asymptoten då $x\to-\infty.$

Albiki skrev:

Hej,

Om $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ existerar och är lika med $k$ så har $f$ en sned asymptot med lutning $k$ för $x \to \infty.$

Om det är konstaterat att $f$ har en sned asymptot för $x\to\infty$ så fås asymptotens y-intercept som gränsvärdet $\lim_{x\to\infty} (f(x)-kx).$

På samma sätt finner man asymptoten då $x\to-\infty.$

Ditt första påstående är inte helt sant. f(x)=x+sqrt(x) har t ex ingen sned asymptot då x går mot någon oändlighet.

Maremare skrev:
aa okej okej men undrar varför du skrev om HL sådär och varför måste a = 1, för att uppfylla vadå?

Ursäkta otydligheten, vi satte a = 1 för att parentesen $x(1-a)$ ska vara noll, oavsett vilket värde vi har på x. :)

Såhär brukar jag tänka. Blir samma formler till slut men jag tycker det är lättare att komma ihåg.

okej då är jag med tusen tack för all hjälp och tips!