Bestäm alla f(x,y,x) mha partiell integration och derivering

Jag ska bestämma f(x,y,z) då

Så jag börjar med att integrera den första ekvationen map x, vilket ger mig $f(x,y,z)=z^2{e}^{z}x+y^{2}z{e}^x\sin y+g(z,y)$. Sedan deriverar jag detta map y och sätter lika med ekvation 2 och får $$\begin{gathered} 2yz{e}^x\sin y+y^{2}z{e}^x\cos y+{g^{´}}_y(z,y)=y^{2}z{e}^x\cos y+e^z\sin y+2yz{e}^x\sin y \\ \iff {g^{´}}_y(z,y)=e^z\sin y\Rightarrow g(z,y)=-e^z\cos y+h\left(z\right) \end{gathered}$$.

g(z,y) sätter jag in i f(x,y,z) och får $f(x,y,x)=z^2{e}^{z}x+y^{2}z{e}^x\sin y-e^z\cos y+h\left(z\right)$. Denna deriverar jag sedan map z och sätter lika med den sista ekvationen och får $$\begin{gathered} 2z{e}^{z}x+y^2{e}^x\sin y-e^z\cos y+h^{´}\left(z\right)=(x+2)xz{e}^z+y^2{e}^x\sin y+\cos z-e^z\cos y \\ \iff h^{´}\left(z\right)=x{z}^2{e}^z+\cos z \end{gathered}$$.

Men detta är alltså fel då h´(z) ska vara lika med cosz. Hur kan det komma sig att det är så?