8 svar
39 visningar
karisma är nöjd med hjälpen
karisma 1983
Postad: 15 maj 19:10

Bestäm alla fem lösningar till p(x)

Hej!

Jag håller på med denna uppgift som du kan se nedan. Det första jag gjort är att ställa upp (x-1) och (x-i) som faktorer. Sedan har jag genom divisonstrappan dividerat polynomet med x-1 och fått fram x4-2x3 + 3x2 -2x + 2. Jag undrar hur jag går vidare härifrån? Ska jag dividera det nya polynomet med x-i? Sen så undrar jag hur de i lösningsförslaget kom fram till att x = -i? Varför har dem sedan multiplicerat (x-i) med (x+i)? 

Tack på förhand!

Mrpotatohead Online 5037 – Moderator
Postad: 15 maj 19:27 Redigerad: 15 maj 19:29
karisma skrev:

Hej!

Jag håller på med denna uppgift som du kan se nedan. Det första jag gjort är att ställa upp (x-1) och (x-i) som faktorer. Sedan har jag genom divisonstrappan dividerat polynomet med x-1 och fått fram x4-2x3 + 3x2 -2x + 2. Jag undrar hur jag går vidare härifrån? Ska jag dividera det nya polynomet med x-i?

Att göra som lösningsförslaget är lättast. Polynomet p(x) tillsammans med lösningarna 1 och i du får uppgiften gör att du direkt får fram tre av fem lösningar. Om man dividerar p(x) med faktorerna som dessa tre lösningar innebär får du kvar en andragradare du kan lösa som vanligt med pq-formeln (som de gör i lösningsförslaget!).

Sen så undrar jag hur de i lösningsförslaget kom fram till att x = -i?

Satsen om komplexa konjugerande rötter säger att om ett polynom har reella koefficienter och en rot är komplex så är också dess komplexkonjugat en rot. -i-i är komplexkonjugatet till ii

Varför har dem sedan multiplicerat (x-i) med (x+i)? 

Om x1 är en rot till polynomet P så kommer (x-x1) vara en faktor i P. 

Eftersom vi nu vet att i och -i är lösningar till p(x) måste då (x-i) och (x-(-i))=(x+i) vara faktorer. Istället för att man polynomdividerar med varje faktor så multiplicerar man ihop dem och polynomdividerar endast en gång. Det är ju lättare och snabbare och svaret blir samma oavsett:

fjärdegradspolynom(x-i)(x+i)=fjärdegradspolynomx2+1=andragradspolynom\frac{fjärdegradspolynom}{(x-i)(x+i)} = \frac{fjärdegradspolynom}{x^2+1} = andragradspolynom

("Fjärde- och andragradspolynom" syftar självklart inte här på vilket polynom av dessa grader som helst. Det gäller för denna uppgiften.)

karisma 1983
Postad: 16 maj 10:55

Du är alldeles otrolig! Nu fick jag lära mig saker jag inte alls visste om eller hade tänkt på innan, som t.ex. det med komplexkonjugatet. Perfekt att veta inför NP imorgon!

Istället för att man polynomdividerar med varje faktor så multiplicerar man ihop dem och polynomdividerar endast en gång. Det är ju lättare och snabbare och svaret blir samma oavsett

Hade du rekommenderat att man gör på detta sätt även i andra uppgifter med polynomer av högre grad?

Det gör du som du vill. Att göra nämnaren så stor som möjligt förändrar ju som sagt inget, utan gör bara att du slipper polynomdividera flera gånger. Det är ju som att du har exempelvis 30 som ska divideras med 2 och 3. Antingen kan du ta 30/2=15 och 15/3=5 eller 30/(2*3)=30/6=5 direkt.

Laguna Online 29039
Postad: 16 maj 11:03
karisma skrev:

Du är alldeles otrolig! Nu fick jag lära mig saker jag inte alls visste om eller hade tänkt på innan, som t.ex. det med komplexkonjugatet. Perfekt att veta inför NP imorgon!

Jag hittar inte detta på matteboken.se. Det borde verkligen stå där.

Konstigt. Den är ju inte särskilt avancerad heller.

karisma 1983
Postad: 16 maj 11:25

Tycker den borde stå där om man förväntas använda sig av den i uppgifter som dessa...Hur som helst, om vi säger att jag dividerar polynomet med varje faktor var för sig, ska jag då dividera "grundpolynomet" med en ny faktor, eller dividerar jag det "nya polynomet" med nästa faktor tills polynomet får en lägre och lägre exponent? Vet inte riktigt om det går att förstå vad jag menar...

Fortsätt med det enklare polynomet steg för steg.

karisma 1983
Postad: 16 maj 11:28
Smaragdalena skrev:

Fortsätt med det enklare polynomet steg för steg.

Okej, tack!

Svara Avbryt
Close